Anello quoziente

[giuliacarlino1993]

Salve ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio. Dovrei calcolare la cardinalità degli elementi invertibili dell'anello quoziente Zp[x]/(X^2+1). Io so che gli elementi di questo anello sono della forma $ alpha chi + beta $, e il numero degli elementi dell'anello è dato da $ rho \cdot rho $ .Per sapere invece la cardinalità degli elementi invertibili ho pensato di fare una distinzione tra i $ rho -=1mod4 $ e i $ rho -=3mod4 $ . Ma a questo punto mi sono bloccata. Chi potrebbe aiutarmi??

[Kashaman]

Attenzione , la cardinalità di quell'anello è $p^2$. Per la cardinalità degli elementi invertibili.. dovresti pensare, a mio parere, per quali $p$ si ha che il polinomio $f(x)=x^2+1$ sia irriducibile in $ZZ_p[X]$

[giuliacarlino1993]

allora il polinomio $ chi ^2+1 $ è irriducibile se non è il prodotto di due polinomi non costanti. Allora come dovrei continuare??

[Kashaman]

Prova a vedere per quali $p$ $f(x)$ ammette radici in $ZZ_p$.

[giuliacarlino1993]

Allora facendo i calcoli ho visto che con tutti i primi $ rho -= 3mod4 $ si ha che $ chi ^2+1 $ non è scomponibile.ne deduco che il numero degli elementi invertibili è dato da $ rho ^2-1 $ . Invece per i $ rho -= 1mod4 $ non riesco a risolvere Z13[x]/(x^2+1). Infatti in Z13 $ 1-= 12mod4 $ . Come devo proseguire??