Anello minimale
Qualcuno sa darmi la definizione di anello minimale? io non la trovo da nessuna parte; forse i miei libri lo chiamano in modo diverso.
Grazie a tutti! buona giornata!
Grazie a tutti! buona giornata!
Risposte
Mai sentito. Non e' che vuoi dire sottoanello minimale? Di solito la minimalita' riguarda le sottostrutture di una data struttura.
Guarda, non l'ho mai sentito nemmeno io in nessuno dei 3 corsi di algebra che ho fatto, ti scrivo l'enunciato del teorema in cui l'ho trovato, si tratta di un teorema di teoria della misura:
Teorema: per ogni misura $m(A)$ data su un semianello $\sigma_m$ esiste uno e soltanto un solo prolungamento $m'(A)$ avente come suo dominio di definizione l'anello $R(\sigma_m)$ (cioè l'anello minimale sopra $\sigma_m$).
Teorema: per ogni misura $m(A)$ data su un semianello $\sigma_m$ esiste uno e soltanto un solo prolungamento $m'(A)$ avente come suo dominio di definizione l'anello $R(\sigma_m)$ (cioè l'anello minimale sopra $\sigma_m$).
Intende il sottoanello minimale contenente $sigma_m$.
A quanto vedo un semianello e' come un anello eventualmente sprovvisto dell'elemento neutro del prodotto e degli inversi additivi. Il sottoanello minimale contenente $sigma_m$ e' ottenuto intersecando tutti i sottoanelli contenenti $sigma_m$. Il tutto si fa dentro un anello "grande", che immagino che potrebbe essere l'insieme delle parti del dato insieme su cui applichi la misura, con opportune operazioni (per esempio potrebbero essere unione e complementare della differenza simmetrica).
A quanto vedo un semianello e' come un anello eventualmente sprovvisto dell'elemento neutro del prodotto e degli inversi additivi. Il sottoanello minimale contenente $sigma_m$ e' ottenuto intersecando tutti i sottoanelli contenenti $sigma_m$. Il tutto si fa dentro un anello "grande", che immagino che potrebbe essere l'insieme delle parti del dato insieme su cui applichi la misura, con opportune operazioni (per esempio potrebbero essere unione e complementare della differenza simmetrica).
ho trovato qualcosa che potrebbe interessarti in un testo che io adoro, magari lo conosci o lo hai già (se è così, vedi a pagina 45). il testo è:
Kolmogorov - Fomin. "elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale". Edizioni Mir.
non so se nel frattempo è cambiato qualcosa nelle edizioni successive. la mia è un'edizione del 1980.
a pag. 45 sono citati due teoremi, e la risposta che cerchi dovrebbe essere nella dimostrazione del secondo.
te li copio. spero sia utile. poi mi farai sapere.
dalla definizione di anello deriva immediatamente:
Teorema 1. l'intersezione $R=nnn_alpha\R_alpha$ di un insieme di anelli qualsiasi è un anello.
Teorema 2. per ogni famiglia non vuota di insiemi $sigma$ esiste uno e soltanto un anello $R(sigma)$ contenente $sigma$ e contenuto in ogni anello $R$ contenente $sigma$.
Dimostrazione. è facile vedere che l'anello $R(sigma)$ è definito univocamente dalla famiglia $sigma$ per dimostrarne l'esistenza, consideriamo l'unione $X=uuu_(A in sigma)\A$ di tutti gli insiemi $A$ che entrano in $sigma$, e l'anello $M(X)$ di tutti i sottoinsiemi dell'insieme $X$. sia $Sigma$ la collezione di tutti gli anelli di insiemi contenuti in $M(X)$ e contenenti $sigma$. l'intersezione $beta=nnn_(R in Sigma)\R$ di tutti questi anelli sarà, eidentemente, l'anello cercato ($R(sigma)$).
infatti, qualunque sia l'anello $R^(**)$ contenente $sigma$, l'intersezione $R=R^(**)nnM(X)$ sarà un anello di $Sigma$ e quindi $sigma sub R sub R^(**)$, cioè $beta$ soddisfa la condizione di minimalità.
questo anello si chiama anello minimale sopra $sigma$ o anello generato da $sigma$ e si indica con $R(sigma)$
ciao.
Kolmogorov - Fomin. "elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale". Edizioni Mir.
non so se nel frattempo è cambiato qualcosa nelle edizioni successive. la mia è un'edizione del 1980.
a pag. 45 sono citati due teoremi, e la risposta che cerchi dovrebbe essere nella dimostrazione del secondo.
te li copio. spero sia utile. poi mi farai sapere.
dalla definizione di anello deriva immediatamente:
Teorema 1. l'intersezione $R=nnn_alpha\R_alpha$ di un insieme di anelli qualsiasi è un anello.
Teorema 2. per ogni famiglia non vuota di insiemi $sigma$ esiste uno e soltanto un anello $R(sigma)$ contenente $sigma$ e contenuto in ogni anello $R$ contenente $sigma$.
Dimostrazione. è facile vedere che l'anello $R(sigma)$ è definito univocamente dalla famiglia $sigma$ per dimostrarne l'esistenza, consideriamo l'unione $X=uuu_(A in sigma)\A$ di tutti gli insiemi $A$ che entrano in $sigma$, e l'anello $M(X)$ di tutti i sottoinsiemi dell'insieme $X$. sia $Sigma$ la collezione di tutti gli anelli di insiemi contenuti in $M(X)$ e contenenti $sigma$. l'intersezione $beta=nnn_(R in Sigma)\R$ di tutti questi anelli sarà, eidentemente, l'anello cercato ($R(sigma)$).
infatti, qualunque sia l'anello $R^(**)$ contenente $sigma$, l'intersezione $R=R^(**)nnM(X)$ sarà un anello di $Sigma$ e quindi $sigma sub R sub R^(**)$, cioè $beta$ soddisfa la condizione di minimalità.
questo anello si chiama anello minimale sopra $sigma$ o anello generato da $sigma$ e si indica con $R(sigma)$
ciao.
ok grazie mille, io ho il Lang e il Bosh e entrambi parlano di anello generato che ho già utilizzato innumerevoli volte ma non sapevo che fosse sinonimo di minimale!...comunque questo teorema è molto utile anche per la dimostrazione del mio teorema. Grazie!
ciao!
p.s. Martino frase meravigliosa "faremo gli occhiali così"! con tutto quello che la precede!!
ciao!
p.s. Martino frase meravigliosa "faremo gli occhiali così"! con tutto quello che la precede!!
"Marty84":
p.s. Martino frase meravigliosa "faremo gli occhiali così"! con tutto quello che la precede!!
Lo so, e' geniale
prego. ciao!
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