Anello ereditario
Sia $R=((ZZ,0),(QQ,QQ))={((z,0),(q,p))|z\inZZ,q,p\inQQ}$, vorrei provare che $R$ è ereditario a sinistra, ovvero che tutti i suoi ideali sinistri sono proiettivi.
Ho provato che $A=((0,0),(QQ,0))$ e $B=((0,0),(0,QQ))$ sono ideali sinistri di $R$ minimali (nel senso che non contengono propriamente ideali sinistri non nulli di $R$), che l'$R$-modulo sinistro $B$ è proiettivo ed isomorfo all'$R$-modulo sinistro $A$, che gli ideali sinistri di $R$ contenenti $A\oplusB$ sono della forma $((zZZ,0),(QQ,QQ))$ per qualche $z\inZZ$ e che tali ideali sono tutti isomorfi all'$R$-modulo sinistro $R$.
Tornando al problema di provare l'ereditarietà sinistra, considero un generico ideale sinistro $I$ di $R$ e distinguo due casi: $A$ non contenuto in $I$ oppure $A$ contenuto in $I$.
Se $A$ non è contenuto in $I$ allora $InnA$ è ideale di $R$ (perchè intersezione di ideali) ed è contenuto propriamente in $A$ (perchè $A$ non è contenuto in $I$) dunque deve essere $InnA=0$ (perchè $A$ è minimale), allora $I\oplusA$ è un ideale sinistro di $R$ e se riuscissi a mostrare che $I\oplusA$ è proiettivo dedurrei che lo è anche $I$ (in quanto addendo diretto di un modulo proiettivo).
Mi date qualche dritta su come provare che $I\oplusA$ è proiettivo?
Ho provato che $A=((0,0),(QQ,0))$ e $B=((0,0),(0,QQ))$ sono ideali sinistri di $R$ minimali (nel senso che non contengono propriamente ideali sinistri non nulli di $R$), che l'$R$-modulo sinistro $B$ è proiettivo ed isomorfo all'$R$-modulo sinistro $A$, che gli ideali sinistri di $R$ contenenti $A\oplusB$ sono della forma $((zZZ,0),(QQ,QQ))$ per qualche $z\inZZ$ e che tali ideali sono tutti isomorfi all'$R$-modulo sinistro $R$.
Tornando al problema di provare l'ereditarietà sinistra, considero un generico ideale sinistro $I$ di $R$ e distinguo due casi: $A$ non contenuto in $I$ oppure $A$ contenuto in $I$.
Se $A$ non è contenuto in $I$ allora $InnA$ è ideale di $R$ (perchè intersezione di ideali) ed è contenuto propriamente in $A$ (perchè $A$ non è contenuto in $I$) dunque deve essere $InnA=0$ (perchè $A$ è minimale), allora $I\oplusA$ è un ideale sinistro di $R$ e se riuscissi a mostrare che $I\oplusA$ è proiettivo dedurrei che lo è anche $I$ (in quanto addendo diretto di un modulo proiettivo).
Mi date qualche dritta su come provare che $I\oplusA$ è proiettivo?
Risposte
Mi sembra che il problema maggiore ce l'hai quando $A$ è contenuto in $I$.
Infatti se $A$ non è contenuto in $I$ allora come hai detto $A \cap I = 0$ e adesso consideri $B$, per lo stesso argomento se $B$ non è contenuto in $I$ allora $B \cap I = 0$ e a questo punto diventa tutto facile (a occhio).
Quindi puoi supporre che uno tra $A$ e $B$ sia contenuto in $I$.
Infatti se $A$ non è contenuto in $I$ allora come hai detto $A \cap I = 0$ e adesso consideri $B$, per lo stesso argomento se $B$ non è contenuto in $I$ allora $B \cap I = 0$ e a questo punto diventa tutto facile (a occhio).
Quindi puoi supporre che uno tra $A$ e $B$ sia contenuto in $I$.
Quando $I$ non contiene $A$, per quanto scritto sopra, ho che $I\oplusA$ è un ideale contenente $A$ ed $I$ è proiettivo se e solo se $I\oplusA$ lo è, quindi mi è sufficiente mostrare che sono proiettivi tutti gli ideali contenenti $A$.
Ora se l'ideale $J$ contiene $A$ ma non contiene $B$ allora per lo stesso argomento di sopra $J\oplusB$ è un ideale contenente $B$ e $J$ è proiettivo se e solo se $J\oplusB$ lo è, quindi mi è sufficiente mostrare che sono proiettivi tutti gli ideali contenenti $B$ (oltre che $A$).
Quando l'ideale $I$ contiene sia $A$ che $B$ ho praticamente tutto quello che mi serve per mostrare che è proiettivo: infatti a questo punto $I$ deve essere della forma $((zZZ,0),(QQ,QQ))$ ed è dunque isomorfo all'$R$-modulo sinistro $R$ che essendo libero è proiettivo.
In questo modo, se il ragionamento è corretto, mi eviterei di dover analizzare i quattro casi separatamente ($I$ contiene solo $A$, solo $B$, entrambi o nessuno dei due).
Ora se l'ideale $J$ contiene $A$ ma non contiene $B$ allora per lo stesso argomento di sopra $J\oplusB$ è un ideale contenente $B$ e $J$ è proiettivo se e solo se $J\oplusB$ lo è, quindi mi è sufficiente mostrare che sono proiettivi tutti gli ideali contenenti $B$ (oltre che $A$).
Quando l'ideale $I$ contiene sia $A$ che $B$ ho praticamente tutto quello che mi serve per mostrare che è proiettivo: infatti a questo punto $I$ deve essere della forma $((zZZ,0),(QQ,QQ))$ ed è dunque isomorfo all'$R$-modulo sinistro $R$ che essendo libero è proiettivo.
In questo modo, se il ragionamento è corretto, mi eviterei di dover analizzare i quattro casi separatamente ($I$ contiene solo $A$, solo $B$, entrambi o nessuno dei due).
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