Anello di matrici
In che modo posso risolvere il seguente esercizio?
Vi ringrazio in anticipo
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Non ti darò una soluzione impacchettata.
intanto $M_3(ZZ_5)$ è un anello finito.
Un endomorfismo $phi:R->R$ di $R$ è un endomorfismo del gruppo $(R,+)$ e in particolare per i gruppi finiti vale il teorema di Lagrange.
Considerando il teorema di omomorfismo $R/(Ker(phi))congphi(R)$
1) è chiaro che se $phi$ è iniettivo allora $RcongR/({0}) congphi(R) => Rcongphi(R)subseteqR$ ed essendo finiti devono coincidere.
Quindi per provare che $gamma_g$ sia un automorfismo ti basta vedere se sia iniettiva.
2) nota che ${x inR:gamma_g(x)=x}$ essendo $gamma_g (x)=g^(-1)xg=x <=> xg=gx$
basta trovare gli elementi che commutano con $g$
intanto $M_3(ZZ_5)$ è un anello finito.
Un endomorfismo $phi:R->R$ di $R$ è un endomorfismo del gruppo $(R,+)$ e in particolare per i gruppi finiti vale il teorema di Lagrange.
Considerando il teorema di omomorfismo $R/(Ker(phi))congphi(R)$
1) è chiaro che se $phi$ è iniettivo allora $RcongR/({0}) congphi(R) => Rcongphi(R)subseteqR$ ed essendo finiti devono coincidere.
Quindi per provare che $gamma_g$ sia un automorfismo ti basta vedere se sia iniettiva.
2) nota che ${x inR:gamma_g(x)=x}$ essendo $gamma_g (x)=g^(-1)xg=x <=> xg=gx$
basta trovare gli elementi che commutano con $g$
"anto_zoolander":
1) è chiaro che se $phi$ è iniettivo allora $RcongR/({0}) congphi(R) => Rcongphi(R)subseteqR$ ed essendo finiti devono coincidere.
Quindi per provare che $gamma_g$ sia un automorfismo ti basta vedere se sia iniettiva.
per dimostrare che è iniettiva devo dimostrare che ker= 0 oppure ci sono metodi differenti?
"anto_zoolander":
Non ti darò una soluzione impacchettata.
Va bene non darla impacchettata, ma questa non mi pare nemmeno una risposta (è incompleta, confusa, fuori tema, ed è sbagliata)
La definizione di automorfismo comunque sta in qualsiasi libro, ripeterla non aggiungerebbe niente di più, e meditarci sopra ti fa bene.
Il fatto che il coniugio per un elemento fissato sia un automorfismo segue dal fatto che, per come sono definite le operazioni che rendono $R$ un anello, $g^{-1}(a+b)g=(g^{-1}a+g^{-1}b)g=...$; sono certo che saprai continuare da solo.
Come ti è stato già detto, per finire devi trovare l'insieme delle matrici che commutano con $g$. Per capire quanti elementi ha... conta!
Zoolander, non ho capito, che c'entrano Lagrange e il primo teorema di isomorofismo?
1) chiede di dare la definizione di automorfismo di R. Un automorfismo è un isomorfismo di R in sé, ossia un'applicazione da R in R biiettiva che commuti con le operazioni (addizione e moltiplicazione di matrici), ovvero: $f$ è un automorfismo di $R$ se è bigettiva e se, per$A,B in R$, $f(A+B)=f(A)+f(B)$ e $f(AB)=f(A)f(B)$
Il punto 2) chiama in causa $GL_3(ZZ_5)$ ossia il gruppo delle matrici invertibili rispetto alla moltiplicazione di matrici e definisce il coniugio per elementi di $GL$, $gamma_g$. Verificare che è un automorfismo è semplice, basta far vedere che:
$AA x,y in R, gamma(x)+gamma(y)=gamma(x+y)$ e che $gamma(x)gamma(y)=gamma(xy)$.
La verifica per il prodotto è ovvia, quella per la somma richiede la proprietà distributiva.
Iniettivo: il nucleo di un omomorfismo di anelli è la stessa cosa che se considerassi R un gruppo, si riferisce alla prima operazione di R, cioè +, $kergamma={x inR| g^(-1)xg=O}={O}$ dove $O$ è la matrice zero. (verificare)
Suriettivo: gratis perché iniettivo di un insieme in sé. (oppure di facile verifica)
3) $g$ è una matrice di permutazione e ha ordine 2, cioè $g^2=g$, $g^(-1)=g$, In pratica, moltiplicare una matrice A per questa matrice significa scambiare la prima riga e la terza riga di A. Coniugare per questa matrice significa scambiare la prima e la terza e poi scambiarle di nuovo. Riottengo nuovamente A, qualunque A in R avessi scelto. Perciò l'insieme di cui si cerca la cardinalità è tutto $R$ e la sua cardinalità $ 5^9$
1) chiede di dare la definizione di automorfismo di R. Un automorfismo è un isomorfismo di R in sé, ossia un'applicazione da R in R biiettiva che commuti con le operazioni (addizione e moltiplicazione di matrici), ovvero: $f$ è un automorfismo di $R$ se è bigettiva e se, per$A,B in R$, $f(A+B)=f(A)+f(B)$ e $f(AB)=f(A)f(B)$
Il punto 2) chiama in causa $GL_3(ZZ_5)$ ossia il gruppo delle matrici invertibili rispetto alla moltiplicazione di matrici e definisce il coniugio per elementi di $GL$, $gamma_g$. Verificare che è un automorfismo è semplice, basta far vedere che:
$AA x,y in R, gamma(x)+gamma(y)=gamma(x+y)$ e che $gamma(x)gamma(y)=gamma(xy)$.
La verifica per il prodotto è ovvia, quella per la somma richiede la proprietà distributiva.
Iniettivo: il nucleo di un omomorfismo di anelli è la stessa cosa che se considerassi R un gruppo, si riferisce alla prima operazione di R, cioè +, $kergamma={x inR| g^(-1)xg=O}={O}$ dove $O$ è la matrice zero. (verificare)
Suriettivo: gratis perché iniettivo di un insieme in sé. (oppure di facile verifica)
3) $g$ è una matrice di permutazione e ha ordine 2, cioè $g^2=g$, $g^(-1)=g$, In pratica, moltiplicare una matrice A per questa matrice significa scambiare la prima riga e la terza riga di A. Coniugare per questa matrice significa scambiare la prima e la terza e poi scambiarle di nuovo. Riottengo nuovamente A, qualunque A in R avessi scelto. Perciò l'insieme di cui si cerca la cardinalità è tutto $R$ e la sua cardinalità $ 5^9$
@gary
il primo punto non l'ho considerato
il teorema è quello di omomorfismo, e insieme a quello di Lagrange possono servire per risolvere in due modi diversi questo esercizio. In particolare per mostrare che se il nucleo è banale, allora si ottiene un isomorfismo.
@killing
Esattamente in cosa sarebbe sbagliata? Nel fatto che l'ho scritta diversamente da come lo avresti fatto tu?
il primo punto non l'ho considerato
il teorema è quello di omomorfismo, e insieme a quello di Lagrange possono servire per risolvere in due modi diversi questo esercizio. In particolare per mostrare che se il nucleo è banale, allora si ottiene un isomorfismo.
@killing
Esattamente in cosa sarebbe sbagliata? Nel fatto che l'ho scritta diversamente da come lo avresti fatto tu?
Dove hai usato il teorema di Lagrange?
In realtà ho dimenticato di scriverlo.
Per il teorema di Lagrange sappiamo che dato un gruppo $G$ finito e un sottogruppo $H$ si avrà che
dove $|G/H|$ è il numero di classi laterali modulo $H$
nel nostro caso è $|R/K|*|K|=|R|$ dove $K:=Ker(phi)$ e $phi:R->R$ endomorfismo.
per il teorema fondamentale di omomorfismo $R/KcongIm(phi):=I$ ovvero $|R/K|=|I|$
pertanto si ottiene per i gruppi finiti: $|Im(phi)|*|Ker(phi)|=|R|$
quì comincia l'esercizio.
il tuo anello è in particolare un gruppo finito.
se quella applicazione è un omomorfismo allora vale la relazione di sopra.
se è iniettiva, allora $Ker(f)={0} => |Ker(f)|=1$ da cui $|Im(phi)|=|R|$
essendo $Im(phi) subseteqR$ un sottoinsieme dello stesso ordine, deve coincidervi.
Quello che volevo tenessi a mente è che $ |Im(phi)|*|Ker(phi)|=|R| $ vale per i gruppi finiti ed è una importante relazione che si ottiene con i due teoremi.
Spero di non aver sbagliato nulla
Per il teorema di Lagrange sappiamo che dato un gruppo $G$ finito e un sottogruppo $H$ si avrà che
$|G/H|*|H|=|G|$
dove $|G/H|$ è il numero di classi laterali modulo $H$
nel nostro caso è $|R/K|*|K|=|R|$ dove $K:=Ker(phi)$ e $phi:R->R$ endomorfismo.
per il teorema fondamentale di omomorfismo $R/KcongIm(phi):=I$ ovvero $|R/K|=|I|$
pertanto si ottiene per i gruppi finiti: $|Im(phi)|*|Ker(phi)|=|R|$
quì comincia l'esercizio.
il tuo anello è in particolare un gruppo finito.
se quella applicazione è un omomorfismo allora vale la relazione di sopra.
se è iniettiva, allora $Ker(f)={0} => |Ker(f)|=1$ da cui $|Im(phi)|=|R|$
essendo $Im(phi) subseteqR$ un sottoinsieme dello stesso ordine, deve coincidervi.
Quello che volevo tenessi a mente è che $ |Im(phi)|*|Ker(phi)|=|R| $ vale per i gruppi finiti ed è una importante relazione che si ottiene con i due teoremi.
Spero di non aver sbagliato nulla
Ciò che scrivi non è sbagliato, è che è un po' sconveniente. La tua dimostrazione, per essere rigorosa, richiederebbe tantissime premesse, definizioni e dimostrazioni di altri teoremi, mezzo libro di algebra in un esercizio così facile solo per dimostrare che una funzione è biiettiva. Vale la pena quando lo si può fare semplicemente applicando due definizioni?
iniettività: $gamma_(g)(x)=gamma_(g)(y) hArr g^(-1)xg=g^(-1)yg$ moltiplico a sinistra per $g$, a destra per $g^(-1)$ entrambi i membri ottengo $x=y$, cioè $gamma_g$ iniettiva.
suriettività: $ AA x in R EE y in R | x=gamma_(g)(y)$ basta prendere $y=gxg^(-1)$.
iniettività: $gamma_(g)(x)=gamma_(g)(y) hArr g^(-1)xg=g^(-1)yg$ moltiplico a sinistra per $g$, a destra per $g^(-1)$ entrambi i membri ottengo $x=y$, cioè $gamma_g$ iniettiva.
suriettività: $ AA x in R EE y in R | x=gamma_(g)(y)$ basta prendere $y=gxg^(-1)$.
Certo, voleva essere solo ‘un ulteriore punto di vista’.
È chiaro che seguendo le definizioni sarebbe stato molto più ‘liscio’ però magari anche questo è qualcosa che ‘rimane’
È chiaro che seguendo le definizioni sarebbe stato molto più ‘liscio’
però magari anche questo è qualcosa che ‘rimane’
Mi è sfuggito che il topic starter ha chiesto se si può dimostrare che $gamma$ è iniettivo senza dover mostrare che $Kergamma=(0)$. Ecco, sì, la risposta sta nel mio precedente post.
Si può fare usando altre definizioni equivalenti di funzione iniettiva, ad esempio: $f:A->B$ iniettiva se e solo se $f(a)=f(b) rArr a=b$ oppure $a!=b rArr f(a)!=f(b)$ (contronominale della prima) o ancora $AA y in B, |f^(-1)({y})|<=1$.
Io l'ho fatta (nel post precedente) utilizzando la prima delle tre, ma si può fare anche con le altre due (provare per credere).
Si può fare usando altre definizioni equivalenti di funzione iniettiva, ad esempio: $f:A->B$ iniettiva se e solo se $f(a)=f(b) rArr a=b$ oppure $a!=b rArr f(a)!=f(b)$ (contronominale della prima) o ancora $AA y in B, |f^(-1)({y})|<=1$.
Io l'ho fatta (nel post precedente) utilizzando la prima delle tre, ma si può fare anche con le altre due (provare per credere).
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