Anello delle funzioni reali

[Injo]

Premetto che sono un poco arrugginito su questi argomenti ma, riguardando i miei vecchi testi ed appunti, non sono risucito a trovare una risposta definitiva alla seguente questione.

Considero l'anello [tex](\{f:\mathbb R \to \mathbb R\},+,*)[/tex] dove le operazioni sono definite come operazioni puntuali ovvero [tex](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/tex] e [tex](f*g)(x)=f(x)*g(x)[/tex] [tex]\forall x\in\mathbb R[/tex]. Voglio sapere chi è il sottoanello di generato dalla funzione identica.

Mi pare che gli elementi di tale sottoanello debbano essere funzioni della forma [tex]f_1*id+f_2*id^2+\dots +f_n*id^n[/tex] e quindi, essendo le operazioni puntuali, avrò funzioni del tipo [tex]f_1(x)x+f_2(x)x^2+\dots +f_n(x)x^n[/tex]. Ha senso come ragionamento? Si può dire qualcosa in più?

[perplesso1]

Non vorrei dire una stupidaggine ma la dico lo stesso... se parti da $id$ e vuoi ottenere il sottoanello generato, allora devi prima di tutto chiudere rispetto al prodotto e quindi, come hai fatto tu, considerare tutte le potenze di $id$ e poi devi chiudere rispetto alla somma e quindi fare tutte le possibili somme di potenze di $id$. Alla fine dovresti avere delle applicazioni così $ a_0+a_1id+... +a_nid^n =a_0+a_1x+... +a_nx^n $ con $ a_0,a_1,...,a_n \in Z $ . Praticamente ottieni tutte le applicazioni polinomiali $ f: x \in R \rightarrow a_0+a_1x+... +a_nx^n \in R $

P.S. Un'ultima cosa, ma sei interessato proprio a $id$ oppure volevi intendere l'unita dell'anello che hai costruito?

[Injo]

Il mio interesse era proprio su [tex]id[/tex]. Uno dei miei dubbi era sulla scelta dei coefficienti ovvero non sapevo se sceglierli nel mio anello, in [tex]\mathbb R[/tex] o in [tex]\mathbb Z[/tex]; dalla tua spiegazione mi sembra di capire che devono proprio essere interi. Ti ringrazio.