Anello dei polinomi a coefficienti nell'anello delle classi dei resti modulo un primo
Ciao a tutti, l'esercizio chiede di provare se sono vere le seguenti affermazioni:
1. Sia \(\displaystyle I \) un ideale dell'anello \(\displaystyle Z_7[x] \). \(\displaystyle I \) è primo se e solo se \(\displaystyle I \) è massimale.
2. Sia \(\displaystyle p(x) \) un polinomio di \(\displaystyle Z[x] \). \(\displaystyle p(x) \) è irriducibile se e solo se \(\displaystyle p(x) \) è primo.
Allora per quanto riguarda la proposizione 1., le mie considerazioni preliminari sono:
\(\displaystyle Z_7 \) è un campo, essendo il "modulo" un numero primo. In quanto campo, \(\displaystyle Z_7 \) è un dominio euclideo, principale, fattoriale e d'integrità. Quello che si conserva quando si passa all'anello dei polinomi è la fattorialità e il fatto di essere un dominio di integrità. Dunque \(\displaystyle Z_7[x] \) è un dominio fattoriale. Devo provare \(\displaystyle I \) primo \(\displaystyle <=> \) \(\displaystyle I \) massimale.
So che la cosa vale in generale quando si suppone il dominio di partenza un anello commutativo con unità, ma non saprei dimostrarlo.
Per la proposizione 2., per dimostrare la falsità si tratta di dover trovare solo un controesempio, cioè se trovo un polinomio che è primo ma non irriducibile (oppure irriducibile ma non primo) allora ho finito. Ma non sono sicuro al 100% della falsità della proposizione...
mi aiutate?
1. Sia \(\displaystyle I \) un ideale dell'anello \(\displaystyle Z_7[x] \). \(\displaystyle I \) è primo se e solo se \(\displaystyle I \) è massimale.
2. Sia \(\displaystyle p(x) \) un polinomio di \(\displaystyle Z[x] \). \(\displaystyle p(x) \) è irriducibile se e solo se \(\displaystyle p(x) \) è primo.
Allora per quanto riguarda la proposizione 1., le mie considerazioni preliminari sono:
\(\displaystyle Z_7 \) è un campo, essendo il "modulo" un numero primo. In quanto campo, \(\displaystyle Z_7 \) è un dominio euclideo, principale, fattoriale e d'integrità. Quello che si conserva quando si passa all'anello dei polinomi è la fattorialità e il fatto di essere un dominio di integrità. Dunque \(\displaystyle Z_7[x] \) è un dominio fattoriale. Devo provare \(\displaystyle I \) primo \(\displaystyle <=> \) \(\displaystyle I \) massimale.
So che la cosa vale in generale quando si suppone il dominio di partenza un anello commutativo con unità, ma non saprei dimostrarlo.
Per la proposizione 2., per dimostrare la falsità si tratta di dover trovare solo un controesempio, cioè se trovo un polinomio che è primo ma non irriducibile (oppure irriducibile ma non primo) allora ho finito. Ma non sono sicuro al 100% della falsità della proposizione...
mi aiutate?
Risposte
Se $F$ e' un campo (e $\ZZ_p$ con $p$ primo e' un campo), $F[x]$ e' un dominio euclideo. La dimostrazione e' di fatto l'algoritmo di divisione tra polinomi, prendendo come norma il grado del polinomio (con qualche accorgimento).
In particolare $F[x]$ e' un PID, percio' UFD. In ogni anello (commutativo, con unita') primo e' irriducibile e ideali massimali sono primi.
In un UFD irriducibile implica primo: si dimostra usando l'unicita' della fattorizzazione.
In un PID, ideali primi sono massimali: si dimostra usando "irriducibile implica primo" e le definizioni.
In particolare $F[x]$ e' un PID, percio' UFD. In ogni anello (commutativo, con unita') primo e' irriducibile e ideali massimali sono primi.
In un UFD irriducibile implica primo: si dimostra usando l'unicita' della fattorizzazione.
In un PID, ideali primi sono massimali: si dimostra usando "irriducibile implica primo" e le definizioni.
\(\displaystyle F[x] \) è un dominio principale perchè è euclideo?
Posso chiederti di indicarmi la dimostrazione di queste affermazioni?
Seconda cosa, per completare l'esercizio, basta dire dunque: poichè \(\displaystyle \(\displaystyle Z_7[x] \) \) è un dominio euclideo e quindi principale vale ideale primo <=> ideale massimale.
Nel caso di \(\displaystyle Z[x] \) (non è euclideo, nè principale, ma fattoriale) poichè \(\displaystyle Z \) non è un campo, cosa posso dire al riguardo?
Posso chiederti di indicarmi la dimostrazione di queste affermazioni?
"Pappappero":
In un UFD irriducibile implica primo: si dimostra usando l'unicita' della fattorizzazione.
In un PID, ideali primi sono massimali: si dimostra usando "irriducibile implica primo" e le definizioni.
Seconda cosa, per completare l'esercizio, basta dire dunque: poichè \(\displaystyle \(\displaystyle Z_7[x] \) \) è un dominio euclideo e quindi principale vale ideale primo <=> ideale massimale.
Nel caso di \(\displaystyle Z[x] \) (non è euclideo, nè principale, ma fattoriale) poichè \(\displaystyle Z \) non è un campo, cosa posso dire al riguardo?
Ogni dominio euclideo e' un PID.
Sia $D$ un dominio euclideo e sia $\nu : ( D -\{0\} )\to \NN$. Prendi un ideale $I$ di $D$. Sia $a$ un elemento di $I$ di norma minima (che esiste, perche' la norma e' un numero naturale). Dimostriamo che $I = (a)$. Infatti, se prendi $b \in I$, facciamo la divisione con resto di $b$ per $a$ e otteniamo $b = aq +r$ con $r=0$ o $\nu(r) < \nu(a)$. Supponiamo $r \ne 0$, quindi per la miniamlita' di $a$, $r$ non e' un elemento di $I$. Pero' $r = b -aq$ e quindi e' un elemento di $I$. Per contraddizione si ha $r =0$ e dunque $b \in (a)$. Percio' $I$ e' principale.
In un UFD ogni irriducibile e' primo.
Sia $p$ un irriducibile. Dati $a,b$ tali che $p | ab$ vogliamo dimostrare che $p |a$ o $p|b$. Abbiamo $pc = ab$ per qualche $c$. Fattorizziamo in irriducibili $c,a,b$ ottenendo $p q_1 ...q_\gamma = r_1 ...r_\alpha s_1...s_\beta$. Per l'unicita' della fattorizzazione, i fattori da un lato sono gli stessi dei fattori dall'altro, quindi abbiamo che $p$ e' un fattore dal lato delle $r,s$. Se $p$ e' una $r$ divide $a$; se $p$ e' una $s$ divide $b$.
In un PID, ogni primo e' massimale.
Questa e' facile facile. Basta applicare la precedente e la definizione di ideale principale.
Sia $D$ un dominio euclideo e sia $\nu : ( D -\{0\} )\to \NN$. Prendi un ideale $I$ di $D$. Sia $a$ un elemento di $I$ di norma minima (che esiste, perche' la norma e' un numero naturale). Dimostriamo che $I = (a)$. Infatti, se prendi $b \in I$, facciamo la divisione con resto di $b$ per $a$ e otteniamo $b = aq +r$ con $r=0$ o $\nu(r) < \nu(a)$. Supponiamo $r \ne 0$, quindi per la miniamlita' di $a$, $r$ non e' un elemento di $I$. Pero' $r = b -aq$ e quindi e' un elemento di $I$. Per contraddizione si ha $r =0$ e dunque $b \in (a)$. Percio' $I$ e' principale.
In un UFD ogni irriducibile e' primo.
Sia $p$ un irriducibile. Dati $a,b$ tali che $p | ab$ vogliamo dimostrare che $p |a$ o $p|b$. Abbiamo $pc = ab$ per qualche $c$. Fattorizziamo in irriducibili $c,a,b$ ottenendo $p q_1 ...q_\gamma = r_1 ...r_\alpha s_1...s_\beta$. Per l'unicita' della fattorizzazione, i fattori da un lato sono gli stessi dei fattori dall'altro, quindi abbiamo che $p$ e' un fattore dal lato delle $r,s$. Se $p$ e' una $r$ divide $a$; se $p$ e' una $s$ divide $b$.
In un PID, ogni primo e' massimale.
Questa e' facile facile. Basta applicare la precedente e la definizione di ideale principale.
Grazie per la cortesia!
Per quanto riguarda la proposizione 2, su \(\displaystyle Z[x] \) non possiamo dir nulla, perché \(\displaystyle Z \) non è un campo.
Per quanto riguarda la proposizione 2, su \(\displaystyle Z[x] \) non possiamo dir nulla, perché \(\displaystyle Z \) non è un campo.
Quindi io direi che è falsa, proponendo un esempio di polinomio irriducibile ma non primo oppure un polinomio primo ma riducibile. Il problema è che non è semplice verificare che un polinomio è primo
In un UFD ogni, primo è equivalente a irriducibile. E $\ZZ[x]$ è un UFD, in quanto anello di polinomi su un UFD.
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