Anello dei polinomi

[paolodocet]

Buonasera a tutti, ho difficoltà nella risoluzione di un esercizio relativamente all'anello dei polinomi.

Sia:
$F = (Z_2[x])/(x^2+1).$

1) Dire se F è un campo.
2) Dire quanti elementi ha B ed elencarli.
3) Trovare un elemento di B che ha ordine 3 rispetto al prodotto.

Per quanto riguarda il punto 1, $Z_2$ è un campo dato che 2 è un numero primo. Ora per il teorema di Ruffini, andiamo a cercare delle radici in $Z_2$:

Sia $P(X) = x^2+1$
Allora:

$P(0) =1 != 0$
$P(1) = 2 != 0$

Quindi P(X) è irriducibile e dunque, F è un campo.

Per quanto riguarda il punto 2, il numero di elementi è pari a $2^2 = 4$ ed essi sono:
$1. 0 + P(X)$
$2. 1 + P(X)$
$3. x + P(X)$
$4. x + 1 + P(X)$

Ora sappiamo che se F è un campo finito, allora A-{0} è un gruppo ciclico di cardinalità uguale a 4-1 = 3.
Ora in che modo posso trovare un elemento che ha ordine 3 rispetto al prodotto? Non riesco a proseguire? Qualcuno potrebbe aiutarmi.
Ciao buona serata a tutti.

[Steven11]

Attenzione, stai lavorando in $Z_2$, pertanto $P(1)=2=0$.

In particolare, quel polinomio non e' irriducibile, poiche' sempre in $Z_2$ si ha $x^2+1= (x+1)^2$, dal momento che $2x=0$.
Fa' attenzione quando stai sui campi finiti!

[paolodocet]

E' vero ciò che dici. $[2]=[0]$ in $Z_2$. Ma perdonami, forse ho capito male il teorema di Ruffini allora. Questo teorema, per quanto ne ho capito io, afferma che preso un elemento di A, chiamiamolo a, allora se $P(a) = 0$, allora a è una radice di P(X).
Cosa sto sbagliando nella sua interpretazione? Grazie per la risposta e per la disponibilità. Ciao.

***********************************************EDIT******************************************
Ciao ancora, non avevo letto con troppa attenzione la tua risposta. Dunque, noi sappiamo che per il teorema di Ruffini, esiste una radice di P(X) e dunque il polinomio non è irriducibile. Ne segue che F NON È UN CAMPO.
Perfetto, grazie per la dritta, ho fatto un errore. Bene. Adesso, come posso procedere per il punto in cui si chiede un elemento di ordine 3 rispetto al prodotto?

Ciao.

[Steven11]

Gli elementi invertibili sono solo due (quali?), e vedi subito che nessuno dei due ha ordine tre, quindi deduciamo che non ve ne sono.

[paolodocet]

In generale, chiamando $P(X)$ il polinomio, gli elementi di F sono:
$0+P(X)$
$1+P(X)$
$x+P(X)$
$x+1+P(X)$

Chiamiamo $k$ un generico elemento tra quelli sopra proposti. Allora quelli invertibili sono gli elementi tale che:

$MCD(k,P(X)) = 1$

Ossia sono:
$1+P(X)$
$x+P(X)$

Non capisco però per quale ragione prendi in considerazione gli elementi invertibili. Per svolgere il punto 3 dell'esercizio, avrei proceduto nel modo seguente:
Sia $[P(X)] = [0]$
Si prenda:
$z=1+P(X)$
$z^0 = 1$
$z^1 = 1 + P(X) = [1]$
Da cui segue che $1+P(X)$ ha ordine 1.
Si prenda:
$z=x+P(X)$
$z^0 = 1$
$z^1 = x + P(X)$
$z^2 = x^2 + P(X) = 1 + P(X) = [1] $
Da cui segue che $x+P(X)$ ha ordine 2.
Si prenda:
$z = x+1+P(X)$
$z^0 = 1$
$z^1 = x+1+P(X)$
$z^2 = x^2 + 2x + 1 + P(X) = [2]x + P(X) = [0]$
Qui, ottengo la classe di equivalenza [0], anche se non capisco perchè. In ogni caso, $x+1+P(X)$ non ha ordine 3.

Quindi è sufficiente prendere in considerazione solamente gli elementi invertibili? Mi spiegheresti il perchè? Grazie per la tua risposta ciao.