Anello classi di resto/Congruenze
Salve ragazzi, ancora una volta mi trovo di fronte ad un esercizio dal quale non riesco ad uscirne. La parte teorica non mi aiuta molto a capirlo e non riesco a trovare esercizi svolti simili a questo che mi possano aiutare a sbrogliarlo.
Consideriamo $ZZ_54$, l'anello delle classi di resto modulo 54.
a) trovare un intero $n$, $0<=n<54$ tale che $[n] = [125]$. Ne esiste più di uno?
b) Esiste un intero pari nella classe di $125$?
c) Esiste un intero multiplo di $3$ nella classe di $125$?
d) Sia m un intero fissato. Provare che esiste almeno un intero $s$, con $100<=s<=200$, tale che $[m]=$
Allora, io l'ho pensata in questo modo:
a)
dobbiamo cercare $n$, $0<=n<54$, congruo a $125$ modulo $54$ quindi scrivo una congruenza lineare del tipo
$125-=n$mod$54$
che si può riscrivere come equazione lineare in due variabili $125x+54y=n$ Giusto
Quindi calcolo l'MCD(125,54) che è $1$
l'equazione è risolubile perchè $1|n$ per qualsiasi $n$, però da qui in poi non so come procedere per ricavare $n$
Servirebbe calcolare l'idendità di Bezout?
b)
Cosa vuol dire cercare un intero pari nella classe di $125$?
Cioè vuole sapere se esiste un numero nella forma $2n$ che sia congruo a $125$ in $ZZ_54$?
c)
Qui ho lo stesso dubbio del punto b)
Vuole sapere se esiste un numero nella forma $3n$ congruo a $125$ in $ZZ_54$?
d)
Ad esempio fissando $m=2$ devo cercare un $s$ t.c. $100<=s<=200$ che sia congruo a $2$ in $ZZ_54$, giusto
Ma come? Non so davvero come muovermi e non c'è nulla qui che mi aiuti a capire,](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Consideriamo $ZZ_54$, l'anello delle classi di resto modulo 54.
a) trovare un intero $n$, $0<=n<54$ tale che $[n] = [125]$. Ne esiste più di uno?
b) Esiste un intero pari nella classe di $125$?
c) Esiste un intero multiplo di $3$ nella classe di $125$?
d) Sia m un intero fissato. Provare che esiste almeno un intero $s$, con $100<=s<=200$, tale che $[m]=
Allora, io l'ho pensata in questo modo:
a)
dobbiamo cercare $n$, $0<=n<54$, congruo a $125$ modulo $54$ quindi scrivo una congruenza lineare del tipo
$125-=n$mod$54$
che si può riscrivere come equazione lineare in due variabili $125x+54y=n$ Giusto
Quindi calcolo l'MCD(125,54) che è $1$
l'equazione è risolubile perchè $1|n$ per qualsiasi $n$, però da qui in poi non so come procedere per ricavare $n$
Servirebbe calcolare l'idendità di Bezout?
b)
Cosa vuol dire cercare un intero pari nella classe di $125$?
Cioè vuole sapere se esiste un numero nella forma $2n$ che sia congruo a $125$ in $ZZ_54$?
c)
Qui ho lo stesso dubbio del punto b)
Vuole sapere se esiste un numero nella forma $3n$ congruo a $125$ in $ZZ_54$?
d)
Ad esempio fissando $m=2$ devo cercare un $s$ t.c. $100<=s<=200$ che sia congruo a $2$ in $ZZ_54$, giusto
Ma come? Non so davvero come muovermi e non c'è nulla qui che mi aiuti a capire,
Risposte
a)
Poiché $\{ 0, 1, . . . , 53 \}$ è un sistema di rappresentanti per $Z_{54}$ esiste unico $n$ con $0<= n < 54$ tale che $[n] = [125]$ e precisamente è il resto della divisione di $125$ per $54$ ( facile da trovare, $n = 17$
b) La classe di $125$ può essere descritta come $\{ 17 + 54z : z \in Z \}$ Allora ti accorgi subito che ogni elemento della classe di $125$ è somma di un numero dispari e di uno pari, dunque è sempre dispari. La risposta allora è no.
c) La diofantea $ 17 + 54z = 3n $ che è associata alla congruenza $ 17 + 54z = 0 ( mod 3 ) $ è risolubile se e solo se $ (3, 54) | 17 $ Ma $(3, 54) = 3$ dunque no anche a questa domanda.
d) Basta osservare che $\{ 108, 109, . . . , 161 \}$ è un sistema di rappresentanti per $Z_{54}$ dunque $\forall m \in Z \exists 108<= s <= 161 : [ s ] = [ m ]$
Poiché $\{ 0, 1, . . . , 53 \}$ è un sistema di rappresentanti per $Z_{54}$ esiste unico $n$ con $0<= n < 54$ tale che $[n] = [125]$ e precisamente è il resto della divisione di $125$ per $54$ ( facile da trovare, $n = 17$
b) La classe di $125$ può essere descritta come $\{ 17 + 54z : z \in Z \}$ Allora ti accorgi subito che ogni elemento della classe di $125$ è somma di un numero dispari e di uno pari, dunque è sempre dispari. La risposta allora è no.
c) La diofantea $ 17 + 54z = 3n $ che è associata alla congruenza $ 17 + 54z = 0 ( mod 3 ) $ è risolubile se e solo se $ (3, 54) | 17 $ Ma $(3, 54) = 3$ dunque no anche a questa domanda.
d) Basta osservare che $\{ 108, 109, . . . , 161 \}$ è un sistema di rappresentanti per $Z_{54}$ dunque $\forall m \in Z \exists 108<= s <= 161 : [ s ] = [ m ]$
Ciao jJjjJ, grazie per aver risposto! 
Scusami se ti chiedo il perchè si è arrivati a questa conclusione.
Ho alcuni dubbi. Confermami quello che dico per vedere se ho capito bene.
Il punto a) l'ho capito.
Il punto b) non mi è molto chiaro. Cioè, una qualsiasi classe $[y]$ può essere scritta come:
$[y]={[x]+nz : [y]-=[x] mod n}$
anche per il punto c) ho una domanda: l'equazione diofantea $ 17 + 54z = 3n $ può essere riscritta
come $3n+54=17$ cioè $3n-=17 mod 54$
anche il punto d) mi è chiaro. Per capirlo ho fatto alcuni calcoli, inizialmente ero un po' stranito.
Appena ho letto la tua soluzione son rimasto terrorizzato perchè trovo che i prof non inseriscano abbastanza esempi ed esercizi svolti per farci capire questo tipo di esercizi. Comunque ho ripreso di nuovo la teoria e confrontando tutto con i tuoi svolgimenti sono contento di aver capito di che cosa si tratta. Stavo già andando fuori strada parlando di congruenze sul punto a) quando invece bastava solo una piccola divisione con resto.
Grazie ancora per il tuo aiuto
Scusami se ti chiedo il perchè si è arrivati a questa conclusione.Ho alcuni dubbi. Confermami quello che dico per vedere se ho capito bene.
Il punto a) l'ho capito.
Il punto b) non mi è molto chiaro. Cioè, una qualsiasi classe $[y]$ può essere scritta come:
$[y]={[x]+nz : [y]-=[x] mod n}$
anche per il punto c) ho una domanda: l'equazione diofantea $ 17 + 54z = 3n $ può essere riscritta
come $3n+54=17$
cioè $3n-=17 mod 54$ anche il punto d) mi è chiaro. Per capirlo ho fatto alcuni calcoli, inizialmente ero un po' stranito.
Appena ho letto la tua soluzione son rimasto terrorizzato perchè trovo che i prof non inseriscano abbastanza esempi ed esercizi svolti per farci capire questo tipo di esercizi. Comunque ho ripreso di nuovo la teoria e confrontando tutto con i tuoi svolgimenti sono contento di aver capito di che cosa si tratta. Stavo già andando fuori strada parlando di congruenze sul punto a) quando invece bastava solo una piccola divisione con resto.
Grazie ancora per il tuo aiuto
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