Anelli regolari
Pongo anche un'altra domanda su come stabilire se un anello è regolare. La teoria che conosco a riguardo oltre alla definizione, mi da una caratterizzazione nel caso locale, cioè se ho un anello locale e una base minimale di generatori per l'ideale massimale allora l'anello è regolare se e solo se i generatori in questione sono analiticamente indipendenti. Ma come comportarsi nel caso di quozienti? Ad esempio gli anelli B e C dove
[tex]A=k[x,y]_{(x,y)}[/tex]
[tex]B=A/(x-y^2)[/tex]
[tex]A_1=k[x,y,z]_{(x,y,z)}[/tex]
[tex]C=A_1/(x^2-y^2-z^2)[/tex]
sono regolari?
[tex]A=k[x,y]_{(x,y)}[/tex]
[tex]B=A/(x-y^2)[/tex]
[tex]A_1=k[x,y,z]_{(x,y,z)}[/tex]
[tex]C=A_1/(x^2-y^2-z^2)[/tex]
sono regolari?
Risposte
Servono un po' di trucchi standard. Prima di tutto, leggi quello che ho scritto qui. Poi, vediamo il caso B. Allora [tex]A / (x - y^2) A \cong (k[x,y] / (x-y^2))_{(x,y)}[/tex]. Adesso, per studiare la regolarità di [tex]k[x,y] / (x-y^2)[/tex] nell'origine ricorriamo allo spazio tangente di Zariski, che è sempre il modo più rapido. Infatti, è piuttosto elementare mostrare che la dimensione di Krull di [tex]k[x,y]/(x-y^2)[/tex] è 1, quindi basta mostrare che, posto [tex]\mathfrak m = (x,y) \subset k[x,y] / (x- y^2)[/tex], si ha [tex]\text{dim}_k \mathfrak m / \mathfrak m^2 = 1[/tex]. Ora, [tex](\mathfrak m / \mathfrak m^2)^* \cong T_k(R)[/tex] dove [tex]R = k[x,y]/(x-y^2)[/tex]. Per definizione, posto [tex]f(x,y) = x - y^2[/tex]:
[tex]T_k(R) = \{(\lambda,\mu) \in k^2 \mid \lambda \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x = 0, y = 0}+ \mu \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{x = 0,y = 0} = 0\}[/tex]
e questo è un semplicissimo "sistema" lineare (è una sola equazione!): [tex]\lambda = 0[/tex]. Pertanto la dimensione come k-spazio vettoriale è effettivamente 1, e l'anello è regolare.
Ci sono alcuni dettagli da sistemare, su cui ho volutamente sorvolato. Sarebbe bene che provassi a metterli a posto, per prendere familiarità con questi esercizi. Ad esempio, avrei dovuto calcolare la dimensione di [tex]\mathfrak m R_{\mathfrak m} / \mathfrak m^2 R_{\mathfrak m}[/tex], ma per noti isomorfismi, è corretto quello che ho fatto.
Prova a risolvere il secondo sulla falsariga di questo qui.
[tex]T_k(R) = \{(\lambda,\mu) \in k^2 \mid \lambda \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x = 0, y = 0}+ \mu \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{x = 0,y = 0} = 0\}[/tex]
e questo è un semplicissimo "sistema" lineare (è una sola equazione!): [tex]\lambda = 0[/tex]. Pertanto la dimensione come k-spazio vettoriale è effettivamente 1, e l'anello è regolare.
Ci sono alcuni dettagli da sistemare, su cui ho volutamente sorvolato. Sarebbe bene che provassi a metterli a posto, per prendere familiarità con questi esercizi. Ad esempio, avrei dovuto calcolare la dimensione di [tex]\mathfrak m R_{\mathfrak m} / \mathfrak m^2 R_{\mathfrak m}[/tex], ma per noti isomorfismi, è corretto quello che ho fatto.
Prova a risolvere il secondo sulla falsariga di questo qui.
Purtroppo non conosco lo spazio tangente di zariski, come si potrebbe dimostrare in alternativa che [tex]dim_K m/m^2=1[/tex]?
A mano. L'ideale massimale in questione è [tex](x,y)[/tex] e tuttavia [tex]x = y^2[/tex], sicché [tex](x,y) = (y^2,y) = (y)[/tex] quindi è principale, quindi l'anello è regolare.
Detto così sembra semplice, ma l'altro modo è decisamente più potente e si applica in casi più complessi, dove magari questi piccoli conticini che ho fatto adesso sono più incasinati da fare...
Detto così sembra semplice, ma l'altro modo è decisamente più potente e si applica in casi più complessi, dove magari questi piccoli conticini che ho fatto adesso sono più incasinati da fare...
scusa ma non ho capito il legame tra il fatto che (y) sia principale e il fatto che l'anello sia regolare..
Un anello locale [tex](A,\mathfrak m)[/tex] è regolare, per definizione, se e solo se la dimensione come [tex]k = A / \mathfrak m[/tex]-spazio vettoriale di [tex]\mathfrak m / \mathfrak m^2[/tex] è pari alla dimensione di Krull di A. Inoltre, se A è un anello (locale) noetheriano di dimensione 1, allora seguenti cose sono equivalenti:
1) A è regolare;
2) A è un DVR;
3) l'ideale massimale di A è generato da un solo elemento.
1) A è regolare;
2) A è un DVR;
3) l'ideale massimale di A è generato da un solo elemento.
Forse ho bisogno di ripartire dall'inizio e fare un passetto alla volta!(Vorrei cercare
di capire tutto). Partiamo quindi dal caso A. L'anello è locale quindi la sua dimensione
è l'altezza del massimale che è 2. Vediamo se
[tex]dim_C m/m^2=2[/tex]. Innanzitutto chi è C(sarebbe il campo residuo che non chiamo
K per non confonderlo con il K dell'anello di polinomi)?
[tex]C=K[x,y]_{(x,y)}/(x,y)K[x,y]_{(x,y)}=K[/tex] ?
[tex]m/m^2=(x,y)K[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy,y^2)K[x,y]_{(x,y)}[/tex] è generato su K da
[tex]x,y[/tex] anche se ci sono le estensioni? In caso di risposta affermativa come faccio a dirlo?
di capire tutto). Partiamo quindi dal caso A. L'anello è locale quindi la sua dimensione
è l'altezza del massimale che è 2. Vediamo se
[tex]dim_C m/m^2=2[/tex]. Innanzitutto chi è C(sarebbe il campo residuo che non chiamo
K per non confonderlo con il K dell'anello di polinomi)?
[tex]C=K[x,y]_{(x,y)}/(x,y)K[x,y]_{(x,y)}=K[/tex] ?
[tex]m/m^2=(x,y)K[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy,y^2)K[x,y]_{(x,y)}[/tex] è generato su K da
[tex]x,y[/tex] anche se ci sono le estensioni? In caso di risposta affermativa come faccio a dirlo?
La prima parte va bene.
Per la seconda, posso consigliarti di dimostrare un lemma.
Lemma. Sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario, sia [tex]\mathfrak m[/tex] un suo ideale massimale. Allora [tex]\mathfrak m A_\mathfrak{m} / \mathfrak m^2 A_{\mathfrak m} \cong \mathfrak m / \mathfrak m^2[/tex].
Per la seconda, posso consigliarti di dimostrare un lemma.
Lemma. Sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario, sia [tex]\mathfrak m[/tex] un suo ideale massimale. Allora [tex]\mathfrak m A_\mathfrak{m} / \mathfrak m^2 A_{\mathfrak m} \cong \mathfrak m / \mathfrak m^2[/tex].
Non sono molto preciso, ma [tex]mA_m/m^2A_m =(m/m^2)_m[/tex] ma localizzare rispetto a m equivale a non fare nulla, perchè se ad m tolgo m ho l'insieme vuoto.. Non sono molto convinto, anche perchè mi viene il dubbio (strano) che se prendo come insieme moltiplicativamente chiuso il S=vuoto allora [tex]S^{-1}A=A[/tex], ma il vuoto non contiene 1, quindi non andrebbe bene come insieme moltiplicativamente chiuso..
Detto così è orrendo e non ha validità! Il modo che mi sembra migliore è questo: [tex]A_{\mathfrak m} / \mathfrak m^2 A_{\mathfrak m} \cong (A / \mathfrak m^2)_{\mathfrak m} = A / \mathfrak m^2[/tex]. Il primo isomorfismo è valido sempre per l'esattezza di [tex]S_{\mathfrak m}^{-1} -[/tex], mentre il secondo vale perché in questo caso operare quella localizzazione equivale a localizzare rispetto a [tex]\mathfrak m / \mathfrak m^2[/tex]; tuttavia tutti gli elementi di [tex]A / \mathfrak m^2[/tex] che non appartengono a [tex]\mathfrak m / \mathfrak m^2[/tex] sono già invertibili perché [tex]A / \mathfrak m^2[/tex] è un anello locale. Pertanto abbiamo [tex]A_{\mathfrak m} / \mathfrak m^2 A_{\mathfrak m} \cong A / \mathfrak m^2[/tex]. Questo isomorfismo dovrà adesso restringersi ad un isomorfismo tra i rispettivi ideali massimali.
Si grazie, infatti non ero molto soddisfatto!
Comunque, a questo punto l'ultima cosa puntigliosa è la seguente: quell'isomorfismo
di anelli è anche un isomorfismo di C-spazi vettoriali?(o più precisamente tra un
C-spazio vettoriali ed un K-spazio vettoriale).
Accettato questo intanto, nel caso A si ha regolarità.
Per quanto riguarda il caso B si ha
[tex]K[x,y]_{(x,y)}/(x-y^2)K[x,y]_{(x,y)} =(K[x,y]/(x-y^2))_{(X,Y)}[/tex] dove indico con
le maiuscole le classi di equivalenza. Nel quoziente si ha
[tex]X=Y^2[/tex] quindi (X,Y)=(Y). Detto M il massimale, quindi
[tex]M=(Y)(K[x,y]/(x-y^2))_{(X,Y)}[/tex] abbiamo detto che
[tex]M/M^2=m/m^2 =(Y)/(Y^2)[/tex] dove m indica il massimale non esteso. Quindi
la dimensione di qusto spazio vettoriale è 1.
Ora veniamo ai dubbi riguardanti la dimensione di Krull:
dimostro che la dimensione di Krull di
[tex]K[x,y]/(x-y^2)[/tex] è 1. Infatti [tex](x-y^2)=p[/tex] è un ideale primo in
[tex]K[x,y][/tex] di altezza 1 essendo non invertibile
nè 0-divisore(per il teorema dell'ideale principale di Krull).
Ora ogni catena di primi nel quoziente parte da P, (la proiezione di p nel quoziente)
ed essendo la dimensione di K[x,y]=2, tali catene non possono avere altezza maggiore
di 1. Inoltre esiste una catena lunga effettivamente 1, cioè
[tex](x-y^2) \subset (x,y)[/tex] quindi la dimensione di Krull è proprio 1.
Come faccio a dire che anche la dimensione di B, che è la localizzazione di questo
anello, è 1?(ammesso che io non abbia già sbagliato fin qui!)
Comunque, a questo punto l'ultima cosa puntigliosa è la seguente: quell'isomorfismo
di anelli è anche un isomorfismo di C-spazi vettoriali?(o più precisamente tra un
C-spazio vettoriali ed un K-spazio vettoriale).
Accettato questo intanto, nel caso A si ha regolarità.
Per quanto riguarda il caso B si ha
[tex]K[x,y]_{(x,y)}/(x-y^2)K[x,y]_{(x,y)} =(K[x,y]/(x-y^2))_{(X,Y)}[/tex] dove indico con
le maiuscole le classi di equivalenza. Nel quoziente si ha
[tex]X=Y^2[/tex] quindi (X,Y)=(Y). Detto M il massimale, quindi
[tex]M=(Y)(K[x,y]/(x-y^2))_{(X,Y)}[/tex] abbiamo detto che
[tex]M/M^2=m/m^2 =(Y)/(Y^2)[/tex] dove m indica il massimale non esteso. Quindi
la dimensione di qusto spazio vettoriale è 1.
Ora veniamo ai dubbi riguardanti la dimensione di Krull:
dimostro che la dimensione di Krull di
[tex]K[x,y]/(x-y^2)[/tex] è 1. Infatti [tex](x-y^2)=p[/tex] è un ideale primo in
[tex]K[x,y][/tex] di altezza 1 essendo non invertibile
nè 0-divisore(per il teorema dell'ideale principale di Krull).
Ora ogni catena di primi nel quoziente parte da P, (la proiezione di p nel quoziente)
ed essendo la dimensione di K[x,y]=2, tali catene non possono avere altezza maggiore
di 1. Inoltre esiste una catena lunga effettivamente 1, cioè
[tex](x-y^2) \subset (x,y)[/tex] quindi la dimensione di Krull è proprio 1.
Come faccio a dire che anche la dimensione di B, che è la localizzazione di questo
anello, è 1?(ammesso che io non abbia già sbagliato fin qui!)
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