Anelli quozienti di $ZZ_(/17)[sqrt(2)]$

[Angus1956]

Consideriamo l’anello $A=ZZ_(/17)[sqrt(2)]$. Le classi di associatura sono: $0$, invertibili, $C1={6b+bsqrt(2)| b!=0}$ e $C2={-6b+bsqrt(2)| b!=0}$. Gli unici ideali di $A$ sono $C1uu{0}$ e $C2uu{0}$. Poniamo $I=C1uu{0}$ (analogo discoro per $J=C2uu{0}$), abbiamo che $I$ è massimale per cui $A_(/I)$ è un campo. Questo campo ha $17$ elementi, per mostrare ciò io ho pensato che se prendo un elemento qualunque $a+csqrt(2)$ sappiamo che gli elementi che stanno nella sua stessa classe in $I$ sono della forma $16a+6b+(16c+b)sqrt(2)$ dove $binZZ_(/17)$ e si osserva che per ogni valore di $b$ questi elementi sono tutti diversi fra loro. E quindi ho dedotto che per ogni elemento $a+csqrt(2)$ ci sono $17$ altri elementi di $A$ che stanno nella stessa classe rispetto a I e siccome in totale $A$ ha $17^2$ elementi allora $17^2/17=17$. Più generalmente si può dire che $|A_(/I)|=|A|/|I|$ senza dover fare tutto questo ragionamento?

[hydro1]

$2$ è un quadrato in \(\mathbb Z/17\mathbb Z\), quindi \(\mathbb Z/17\mathbb Z[\sqrt{2}]=\mathbb Z/17\mathbb Z\).

[Angus1956]

"hydro":$2$ è un quadrato in \(\mathbb Z/17\mathbb Z\), quindi \(\mathbb Z/17\mathbb Z[\sqrt{2}]=\mathbb Z/17\mathbb Z\).

A tu dici che $6^2=2$ in $ZZ_(/17)$ ma non credo sia la stessa cosa... Al massimo sono isomorfi. Strano che sia cosi l'esercizio.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sicuro che non intenda $(\mathbb{F}_{17}[X])/((X^2-2))$?

[hydro1]

"andreadel1988":
A tu dici che $6^2=2$ in $ZZ_(/17)$ ma non credo sia la stessa cosa...

La stessa cosa di che?

"andreadel1988":
Al massimo sono isomorfi.

Certo che lo sono, così come \(\mathbb Q[\sqrt{4}]=\mathbb Q\).

[Angus1956]

"Martino":Sicuro che non intenda $(\mathbb{F}_{17}[X])/((X^2-2))$?

Guarda tu stesso:

[Angus1956]

"hydro":
La stessa cosa di che?

$sqrt(2)$ e $6$, ma effettivamente entrambi sono i numeri che al quadrato fanno $2$ in $ZZ_(/17)$...

[hydro1]

Probabilmente è proprio come dice Martino, ma la notazione è più che pessima.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

A parte la notazione orrenda, ... classi di associatura?? Che roba è?

[Angus1956]

"hydro":Probabilmente è proprio come dice Martino, ma la notazione è più che pessima.

Cmq la mia domanda era rivolta piu che altro al fatto se potessi calcolare la cardinalità di un quoziente per un ideale come divisione fra cardinalità di $A$ e cardinalità di $I$ perchè non mi sembra di averlo fatto a lezione riguardando gli appunti.

[Angus1956]

"Martino"::

classi di associatura?? Che roba è?

L'insieme deli elementi che sono associati fra loro, ovvero dati $a$ e $b$ sono associati se esiste un elemento neutro $u$ tale che $b=a*u$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ah ok grazie comunque ho idea che intenda il quoziente $(\mathbb{F}_{17}[X])/((X^2-2))$, ma cerca di dirgli che la notazione $\mathbb{F}_{17}[sqrt(2)]$ è pessima, non si può vedere.

[Angus1956]

"Martino":Ah ok grazie comunque ho idea che intenda il quoziente $(\mathbb{F}_{17}[X])/((X^2-2))$, ma cerca di dirgli che la notazione $\mathbb{F}_{17}[sqrt(2)]$ è pessima, non si può vedere.

Se gli dico cosi al prof secondo me mi boccia senza fare l'esame . Però lo terrò a mente ahahahaha. Per la domanda che ho chiesto però mi sapresti dire?

[Angus1956]

"Martino": ho idea che intenda il quoziente $(\mathbb{F}_{17}[X])/((X^2-2))$, ma cerca di dirgli che la notazione $\mathbb{F}_{17}[sqrt(2)]$ è pessima, non si può vedere.

Che poi scusa ma in teoria $\mathbb{F}_{17}[X]_(/(X^2-2))$ e $\mathbb{F}_{17}[sqrt(2)]$ a meno di isomorfismo sono la stessa cosa quindi non capisco quale sia il prolema? Io so che se $alpha$ è una radice di un polinomio $f$ irriducibile allora $K[X]_(/(f))$ è isomorfo a $K[alpha]$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"andreadel1988":Io so che se $alpha$ è una radice di un polinomio $f$ irriducibile allora $K[X]_(/(f))$ è isomorfo a $K[alpha]$

Esatto, il problema è che in questo caso $X^2-2 =(X-6)(X+6)$ non è irriducibile.

Quanto all'esercizio, faccio fatica perché usi delle notazioni strane. È più facile usare il teorema cinese del resto: chiamando $F$ il campo con $17$ elementi,

$(F[X])/((X^2-2)) cong (F[X])/((X-6)) xx (F[X])/((X+6)) cong F xx F$

(prodotto diretto con operazioni per componenti). Quindi ha 4 ideali: ${(0,0)}$, $F xx F$, ${0} xx F$, $F xx {0}$.

[Angus1956]

"Martino":
Quanto all'esercizio, faccio fatica perché usi delle notazioni strane.

Ah ma non le ho scritte io quelle cose nella foto, penso sia stato il mio prof