Anelli quozienti

[Vegastar]

Ciao a tutti! Ho un esercizio che non capisco bene e vorrei il vostro aiuto. Devo capire se $ ( RR [x]) / ((x^(2) -2 )) $ è un campo e un dominio di integrità e, in caso non lo sia, trovare i divisori dello zero.
Io ho pensato di ragionare così: $ (x^(2) -2 ) $ è riducibile in $ RR [x] $ quindi $ ( RR [x]) / ((x^(2) -2 )) $ non è un campo. Fin qui tutto bene però, dato che $ (x^(2) -2 ) $ è riducibile, di conseguenza l'ideale non è primo e quindi $ ( RR [x]) / ((x^(2) -2 )) $ non è un dominio di integrità. Possibile? E poi come faccio a trovare i divisori dello zero? Per favore, aiutatemi

[blackbishop13]

"Vegastar":$ (x^(2) -2 ) $ è riducibile in $ RR [x] $ quindi $ ( RR [x]) / ((x^(2) -2 )) $ non è un campo.

per lo stesso motivo non è un dominio di integrità, ma visto che non lo hai notato dovresti accertarti di sapere perchè.

come lo spiegheresti?

[Relegal]

Ciao, prendi con le pinze quanto ti sto per dire perchè potrei sbagliare.
$x^2-2=(x+sqrt2)(x-sqrt2)$ quindi questi polinomi (meglio, le classi da loro individuate) sono divisori dello zero nell'anello quoziente. Ti torna questo ?
EDIT: Non avevo notato la risposta di Blackbishop

[Vegastar]

Ho capito che non è un dominio di integrità, dato che se un ideale è riducibile non è massimale e quindi nemmeno primo e che un insieme quoziente non è un dominio di integrità se l'ideale non è primo. Solo che non capisco come trovare i divisori dello zero... Non so come partire a ragionare, sono un po' confusa.

[Vegastar]

Ah,ma certo, è vero che $ (x^2 - 2)$ è una classe di equivalenza, dunque i polinomi con cui posso ridurlo sono i divisori dello zero. Grazie mille, ho capito! Era banale, sono davvero tanto confusa!