Anelli quoziente di polinomi
ciao ragazzi nonostante mi sia sforzato abbastanza per capire la teoria ho ancora problemi a capire come sonofatti gli elementi di un anello quuoziente...specialmente nel caso ci siano dei polinomi di mezzo... ad esempio so che generalmente se abbiamo un anello A ed un ideale I,gli elementi di A/I sono fatti in questo modo.sono FATTI IN QUESTA MANIERA: x+I con x appartenente ad A per la somma ed x*I per il prodotto...ma quando abbiamo ad esempio invece R[X]/P(x)?? grazie mille per le risposte in anticipo 
Risposte
inoltre on riesco a capire perchè(ho trovato questo in un esempio) Z/(x^2+1) non è un campo,dal momento che (x^2+1) è un polinomio irriducibile quindi massimale...
Dunque, partiamo dall'inizio.
Dato un anello $A$ e un ideale $I$, ogni elemento di $a$ definisce una classe di equivalenza modulo $I$, così definita
\[a + I = \{ b \in A : a-b \in I\} \]
Indichiamo con $A/I$ il quoziente su questa relazione di equivalenza. Quindi gli elementi di $a + I$ sono classi di equivalenza, ovvero tecnicamente sono sottoinsiemi dell'anello $A$. Su queste classi si possono definire in modo naturale delle operazioni
$(a+I)+(b+I) = (a+b) + I$ e $(a+I)(b+I) = (ab) + I$. Inoltre per ogni classe $a+I$, la classe $-a + I$ definisce l'elemento opposto di $a+I$. Si può dimostrare che queste operazioni sono ben definite (nel senso che non dipendono dal rappresentante della classe che si considera) e che danno ad $A/I$ una struttura di anello. Non so dove hai visto la scrittura $a*I$ che, almeno al livello delle prime definizioni, non mi risulta usata in nessun ambito.
Prova a scrivere da solo cosa vuol dire tutto questo nel caso dei polinomi.
Veniamo ora al problema di $\ZZ / (x^2 +1)$. $x^2 +1$ è un polinomio irriducibile su $\ZZ[x]$, ma l'ideale che esso genera non è massimale. Ad esempio sopra $(x^2 + 1)$ c'è l'ideale $2$-generato $(x^2+1,x+1)$. Infatti $\ZZ[x]$ non è un PID (dominio a ideali principali) quindi gli ideali massimali non sono (in generale) $1$-generati. Se invece il tuo anello è a ideali principali (e quindi un dominio a fattorizzazione unica), puoi concludere che gli elementi primi (che sono anche irriducibili) generano ideali primi (che sono anche massimali) e che tutti gli ideali massimali sono generati da elementi irriducibili.
Dato un anello $A$ e un ideale $I$, ogni elemento di $a$ definisce una classe di equivalenza modulo $I$, così definita
\[a + I = \{ b \in A : a-b \in I\} \]
Indichiamo con $A/I$ il quoziente su questa relazione di equivalenza. Quindi gli elementi di $a + I$ sono classi di equivalenza, ovvero tecnicamente sono sottoinsiemi dell'anello $A$. Su queste classi si possono definire in modo naturale delle operazioni
$(a+I)+(b+I) = (a+b) + I$ e $(a+I)(b+I) = (ab) + I$. Inoltre per ogni classe $a+I$, la classe $-a + I$ definisce l'elemento opposto di $a+I$. Si può dimostrare che queste operazioni sono ben definite (nel senso che non dipendono dal rappresentante della classe che si considera) e che danno ad $A/I$ una struttura di anello. Non so dove hai visto la scrittura $a*I$ che, almeno al livello delle prime definizioni, non mi risulta usata in nessun ambito.
Prova a scrivere da solo cosa vuol dire tutto questo nel caso dei polinomi.
Veniamo ora al problema di $\ZZ / (x^2 +1)$. $x^2 +1$ è un polinomio irriducibile su $\ZZ[x]$, ma l'ideale che esso genera non è massimale. Ad esempio sopra $(x^2 + 1)$ c'è l'ideale $2$-generato $(x^2+1,x+1)$. Infatti $\ZZ[x]$ non è un PID (dominio a ideali principali) quindi gli ideali massimali non sono (in generale) $1$-generati. Se invece il tuo anello è a ideali principali (e quindi un dominio a fattorizzazione unica), puoi concludere che gli elementi primi (che sono anche irriducibili) generano ideali primi (che sono anche massimali) e che tutti gli ideali massimali sono generati da elementi irriducibili.
grazie mille la risposta al secondo problema l'ho capita,ma il primo problema mi è ancora poco chiaro....nel senso che il discorso che hai fatto lo avevo almeno a linea teorica capito.diciamo che fin quando ci sono numeri è tutto apposto ad esempio se ho Z/3Z gli elementi di questo insieme sono quelli di Z modulo 3 ovvero le classi di resto [0],[1],[2]..il problema è quando ci sono i polinomi...è li che non ho ben capito come sono fatti gli elementi dell'anello quoziente...ad esempio se ho R[X]/(x+2) i suoi elementi sono quelli della forma p(x)+(x+2) dove p(x) è un polinomio a coefficienti reali??
la risposta al secondo problema l'ho capita,ma il primo problema mi è ancora poco chiaro....nel senso che il discorso che hai fatto lo avevo almeno a linea teorica capito.diciamo che fin quando ci sono numeri è tutto apposto ad esempio se ho Z/3Z gli elementi di questo insieme sono quelli di Z modulo 3 ovvero le classi di resto [0],[1],[2]..il problema è quando ci sono i polinomi...è li che non ho ben capito come sono fatti gli elementi dell'anello quoziente...ad esempio se ho R[X]/(x+2) i suoi elementi sono quelli della forma p(x)+(x+2) dove p(x) è un polinomio a coefficienti reali??
nessuno sa darmi una mano?
Sì..$p(x)$ è un polinomio di $\RR[x]$ e dati due polinomi si ha che $f + (x+2) = g + (x+2)$ se e solo se $f-g$ è un multiplo di $(x+2)$ nel senso che esiste un polinomio $h \in \RR[x]$ tale che $(x+2)h = f-g$.
ok ora è tutto chiaro garzie mille 
avrei un altro esempio\esercizio simile da proporvi... se ho come anello $ Z[X] $ e come ideale $ 2x $ gli elementi dell'anello quoziente $ (Z[x])/(2x) $ mi risulta che devono essere tutti plinomi multipli di $ (2x)+ c $ dove c è una costante....è giusto?
Mmm...no. Attento. Non devi fare multipli delle classi. Il tuo ideale è $(2x)$. Quindi i tuoi elementi sono della forma $p + (2x)$ con $p$ polinomio di $\ZZ[x]$. Per sapere come sono fatti gli elementi del tuo quoziente basta questo.
Il discorso dei multipli viene fuori solo quando hai a che fare con diversi rappresentanti della stessa classe. Ad esempio:
$5 + (2x)$ e $5 + 6x^2 + (2x)$ sono la stessa classe, perché la differenza tra i due rappresentati è un multiplo di $2x$, ovvero appartiene all'ideale $(2x)$. Sapresti dire se $4 + (2x)$ e $6 + 4x + (2x)$ sono la stessa classe?
Il discorso dei multipli viene fuori solo quando hai a che fare con diversi rappresentanti della stessa classe. Ad esempio:
$5 + (2x)$ e $5 + 6x^2 + (2x)$ sono la stessa classe, perché la differenza tra i due rappresentati è un multiplo di $2x$, ovvero appartiene all'ideale $(2x)$. Sapresti dire se $4 + (2x)$ e $6 + 4x + (2x)$ sono la stessa classe?
non dovrebbero essere la stessa classe perche la loro differenza è un $(2+4x)$ che non è un multiplo dell'ideale $ 2x $..sbaglio?
quindi insomma la regola generale sarebbe prendere gli elementi dell'anello e sommargli l'ideale...solo che in alcuni esempi\esercizi guidati,vedo sfruttare l'algoritmo di divisone e poi prendere il resto,che diventa il rappresentante delle varie classi..come ad esempio,preso $Z/(nZ) $ gli elementi sono quelli di $ Zn $ (Z modulo n)......ecco questo penso che mi confonde parecchio....vi domando tutto ciò perchè il mio prof ha trattato l'argomento sbrigativamente portando pochi esempi...
Gli algoritmi per il calcolo del resto sono utili perché permettono di usare rappresentati "piccoli". In pratica in $\ZZ $ $/n\ZZ$ puoi fare tutto con i primi $n$ interi.
Una cosa analoga funziona con gli anelli di polinomi, in cui spesso ti puoi ridurre a rappresentati di grado basso. Tuttavia questo non sempre è possibile, perché in generale, su anelli di polinomi qualsiasi, non esiste un algoritmo di divisione, né è sempre possibile considerare rappresentati di grado basso. Ad esempio, puoi osservare facilmente che al variare di $n$, $x^n + (2x)$ sono tutte classi diverse.
Una cosa analoga funziona con gli anelli di polinomi, in cui spesso ti puoi ridurre a rappresentati di grado basso. Tuttavia questo non sempre è possibile, perché in generale, su anelli di polinomi qualsiasi, non esiste un algoritmo di divisione, né è sempre possibile considerare rappresentati di grado basso. Ad esempio, puoi osservare facilmente che al variare di $n$, $x^n + (2x)$ sono tutte classi diverse.
grazie tantissimo cmq l' "esercizio"che mi hai dato è corretto? è nel messaggio nella pagina 1..ho scrito due mex consecutivi e col secondo siamo andati a pagina due....
cmq l' "esercizio"che mi hai dato è corretto? è nel messaggio nella pagina 1..ho scrito due mex consecutivi e col secondo siamo andati a pagina due....
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