Anelli quoziente

[bartel]

Come faccio se devo calcolare la cardinalità dell'anello quoziente $ ZZ {::}_( 3) $ / $ (X^(3) + X + 1) $ ?
Devo dimostrare che è isomorfo a un anello di cardinalità nota a d esempio ?

[blackbishop13]

intanto c'è qualcosa che non va bene.
tu puoi quozientare per ideali dell'anello, mentre in [tex]$\mathbb{Z}_3$[/tex] mica ci sono polinomi!

probabilmente intendevi:
[tex]$ \mathbb{Z}_3 \left[ x \right] / (x^3 + x + 1) $[/tex]

attenzione.

poi, avrai fatto un po' di teoria su queste cose no? cosa conosci?
in particolare, potresti osservare che questo oggetto è uno spazio vettoriale sul campo finito [tex]$\mathbb{Z}_3$[/tex]
e quindi calcolarne una base, da cui la cardinalità

[mistake89]

Oppure puoi pensare che sono i resti di polinomi a coefficienti in $ZZ_3$ per $(f(x))$ e questo ti dà informazioni sul grado massimo.

[bartel]

No scusate ho sbagliato io nei passaggi dell'esercizio.
Il testo dell'esercizio è '' Determinare la cardinalità del seguente anello : $ ZZ [X ] $ / $ (X^(3) + X + 1 , X - 1 , 3 ) $
A questo punto l'anello quoziente è isomorfo a $ ZZ [X] $ / $ (X^(3) +X+1 , X-1) $ / $ (X^(3) +X+1 , X-1,3) $ / $ (X^(3) +X+1 , X-1) $ e da qui mi sono perso arrivando all'espressione senza senso di prima...

[drughe]

penso che non ti conviene vedere quell isomorfismo che hai proposto, ma quest altro: $\frac{\mathbb{Z}[X]}{(x^3+x+1,x-1,3)}~~\frac{\frac{\mathbb{Z}[X]}{(3)}}{\frac{(x^3+x+1,x-1)+(3)}{(3)}}~~\frac{\mathbb{Z}_3[X]}{{(x^3+x+1,x-1)_{(\mathbb{Z}_3[X])}}$

e quindi poi ti vai a calcolare il grado dell MCD fra quei due polinomi e posto questo uguale a $d$ il quoziente ha $3^d$ elementi,