Anelli Quoziente
Rega quando quoziento un anello per un suo ideale, ancora ottengo un insieme con la stuttura di anello.
Il teorema di omomomorfismo afferma che esiste un unica corrispondenza biunivoca che associa ad R/Kerf all'immagine di f Imf.
io mi domando e non mi frustate per la mia incapacità di vedere oltre, ma:
Se quoziento anelli che sono del tipo $ Z$, $Q$, $R$, $C$, con i loro ideali ottengo in generale delle classi resto numeriche?
Polinomi altre classi resto formate stavolta da polinomi???
e via dicendo, corregetemi se dico delle assurdità ma vorrei riuscire a vederli concretamente questi oggetti astratti, altrimenti non ha senso?
E quando quaziento per il nucleo mi sono sempre chiesta che razza di insieme esce, ok è un anello che è isomorfo all'immagine di un morfismo...ma che c'è dentro???
chiedo troppo o chiedo troppo poco?
grazie per la disponibilità...
Il teorema di omomomorfismo afferma che esiste un unica corrispondenza biunivoca che associa ad R/Kerf all'immagine di f Imf.
io mi domando e non mi frustate per la mia incapacità di vedere oltre, ma:
Se quoziento anelli che sono del tipo $ Z$, $Q$, $R$, $C$, con i loro ideali ottengo in generale delle classi resto numeriche?
Polinomi altre classi resto formate stavolta da polinomi???
e via dicendo, corregetemi se dico delle assurdità ma vorrei riuscire a vederli concretamente questi oggetti astratti, altrimenti non ha senso?
E quando quaziento per il nucleo mi sono sempre chiesta che razza di insieme esce, ok è un anello che è isomorfo all'immagine di un morfismo...ma che c'è dentro???
chiedo troppo o chiedo troppo poco?
grazie per la disponibilità...
Risposte
Non esattamente. Quando quozienti un insieme di numeri o di polinomi non ottieni nè numeri nè polinomi ma insiemi.
Mi spiego: anello o non anello l'insieme quoziente è una cosa più generale.
Dato l'insieme A e una relazione di equivalenza ~ su A si chiama insieme quoziente A//~ l'insieme delle classi di equivalenza per ~ su A.
L'esempio: $A=ZZ$ Fissato $m in ZZ, AA a,b in ZZ a~b iff EEk in ZZ : a=b+km$. La relazione di equivalenza ti "divide" o meglio partiziona $ZZ$ in sottoinsiemi detti classi di equivalenza tali che in ciascuno di essi tutti gli elementi sono equivalenti tra di loro. Ad esempio se m=3 avrai 3 classi di equivalenza
{0,3,6,9,12,15,...}
{1,4,7,10,13,16,...}
{2,5,8,11,14,17,...}
Come puoi vedere in ciascuna classe ogni elemento dista dagli altri per un multiplo di m=3.
Nota: la relazione che ho scritto si traduce in: a è equivalente a b sse a e b hanno lo stesso resto nella divisione intera per m. (Controlla!)
Ora si definisce $ZZ//~$ (che in questo caso specifico si chiama anche $ZZ/(mZZ)$) l'insieme delle classi di equivalenza per ~.
Quindi l'insieme quoziente è un insieme che contiene le classi di equivalenza (cioè dei sottoinsiemi) dell'insieme di partenza.
Nota: Nel tuo caso scrivendo A//I dove A è un anello e I un suo ideale stai dicendo che $AA a,b in A: a~b iff a=b+i $ ove $i in I$ e che A//I è l'insieme delle classi di equivalenza secondo ~ che hanno la forma $x+I ={x+i: i in I}, x in A$ fissato. Poi la teoria ti dice che A//I è un'anello ecc... ecc... ma il quoziente è una cosa che riguarda gli insiemi in generale e non solo gli anelli.
Poi quello che dici tu è un'altra cosa: se vedi nell'ultimo esempio ho scritto x+I dove x appartiene ad A. Quella cosa lì si chiama scegliere un rappresentante. Ad esempio nel caso della prima relazione, quella di divisibilità per 3 se io volessi indicarti le tre classi di equivalenza come farei? Ad esempio potrei dirti tutti gli elementi ma essendo infinite non ce la farei in tutta la mia vita. Allora come farei: it direi la prima classe è quella di tutti gli elementi che hanno resto 0 nella divisione per m=3, la seconda resto 1 e la terza resto 2. Allora potrei chiamarle classe $bar0$, classe $bar1$, classe $bar2$. Poi siccome noi matematici inventiamo le definizioni e le notazioni il più rigorose possibili però poi per salvaguardare i tendini delle nostre mani ed il volume dei nostri genitali le abbreviamo in corso d'opera potrei chiamarle classe 0,1,2 (senza le barrette come se fossero numeri) facendoti pensare che $ZZ//(mZZ)$ sia l'insieme {0,1,2}. Invece ripeto $ZZ//mZZ={bar0, bar1, bar2}$.
Poi devi considerare anche un'altra cosa che se stai studiando algebra prima realizza prima capisci. Il concetto di isomorfismo è motlo forte perchè su esso si basa la catalogazioen algebrica degli insiemi. Voglio dire che da un punto di vista algebrico non è importante COSA ci sia in un insieme, ma come questo si comporti rispetto alle altre cose che stanno nell'insieme.
Ad esempio se prendi $RR^2$ con l'usuale somma di vettori e $CC$ con l'usuale somma complessa questi due insiemi con queste operazioni sono gruppi additivi. Ora il primo contiene coppie di numeri reali (a,b), il secondo contiene numeri complessi cioè cose della forma a+ib. Ma da un punto di vista algebrico sono la stessa cosa perchè sono isomorfi. Cioè non sono simili: sono UGUALI. Quindi mi interessa poco cosa siano realmente.
Spero di essere stato chiaro. Altrimenti chiedi pure.
Ps. $QQ, RR, CC$ sono campi quindi quozientare per ideali non serve a molto...
Mi spiego: anello o non anello l'insieme quoziente è una cosa più generale.
Dato l'insieme A e una relazione di equivalenza ~ su A si chiama insieme quoziente A//~ l'insieme delle classi di equivalenza per ~ su A.
L'esempio: $A=ZZ$ Fissato $m in ZZ, AA a,b in ZZ a~b iff EEk in ZZ : a=b+km$. La relazione di equivalenza ti "divide" o meglio partiziona $ZZ$ in sottoinsiemi detti classi di equivalenza tali che in ciascuno di essi tutti gli elementi sono equivalenti tra di loro. Ad esempio se m=3 avrai 3 classi di equivalenza
{0,3,6,9,12,15,...}
{1,4,7,10,13,16,...}
{2,5,8,11,14,17,...}
Come puoi vedere in ciascuna classe ogni elemento dista dagli altri per un multiplo di m=3.
Nota: la relazione che ho scritto si traduce in: a è equivalente a b sse a e b hanno lo stesso resto nella divisione intera per m. (Controlla!)
Ora si definisce $ZZ//~$ (che in questo caso specifico si chiama anche $ZZ/(mZZ)$) l'insieme delle classi di equivalenza per ~.
Quindi l'insieme quoziente è un insieme che contiene le classi di equivalenza (cioè dei sottoinsiemi) dell'insieme di partenza.
Nota: Nel tuo caso scrivendo A//I dove A è un anello e I un suo ideale stai dicendo che $AA a,b in A: a~b iff a=b+i $ ove $i in I$ e che A//I è l'insieme delle classi di equivalenza secondo ~ che hanno la forma $x+I ={x+i: i in I}, x in A$ fissato. Poi la teoria ti dice che A//I è un'anello ecc... ecc... ma il quoziente è una cosa che riguarda gli insiemi in generale e non solo gli anelli.
Poi quello che dici tu è un'altra cosa: se vedi nell'ultimo esempio ho scritto x+I dove x appartiene ad A. Quella cosa lì si chiama scegliere un rappresentante. Ad esempio nel caso della prima relazione, quella di divisibilità per 3 se io volessi indicarti le tre classi di equivalenza come farei? Ad esempio potrei dirti tutti gli elementi ma essendo infinite non ce la farei in tutta la mia vita. Allora come farei: it direi la prima classe è quella di tutti gli elementi che hanno resto 0 nella divisione per m=3, la seconda resto 1 e la terza resto 2. Allora potrei chiamarle classe $bar0$, classe $bar1$, classe $bar2$. Poi siccome noi matematici inventiamo le definizioni e le notazioni il più rigorose possibili però poi per salvaguardare i tendini delle nostre mani ed il volume dei nostri genitali le abbreviamo in corso d'opera potrei chiamarle classe 0,1,2 (senza le barrette come se fossero numeri) facendoti pensare che $ZZ//(mZZ)$ sia l'insieme {0,1,2}. Invece ripeto $ZZ//mZZ={bar0, bar1, bar2}$.
Poi devi considerare anche un'altra cosa che se stai studiando algebra prima realizza prima capisci. Il concetto di isomorfismo è motlo forte perchè su esso si basa la catalogazioen algebrica degli insiemi. Voglio dire che da un punto di vista algebrico non è importante COSA ci sia in un insieme, ma come questo si comporti rispetto alle altre cose che stanno nell'insieme.
Ad esempio se prendi $RR^2$ con l'usuale somma di vettori e $CC$ con l'usuale somma complessa questi due insiemi con queste operazioni sono gruppi additivi. Ora il primo contiene coppie di numeri reali (a,b), il secondo contiene numeri complessi cioè cose della forma a+ib. Ma da un punto di vista algebrico sono la stessa cosa perchè sono isomorfi. Cioè non sono simili: sono UGUALI. Quindi mi interessa poco cosa siano realmente.
Spero di essere stato chiaro. Altrimenti chiedi pure.
Ps. $QQ, RR, CC$ sono campi quindi quozientare per ideali non serve a molto...
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