Anelli Noetheriani
Ritrovatomi davanti a questa proposizione:
In A i seguenti fatti sono equivalenti:
1)Ogni ideale di A è di tipo finito
2)Ogni successione crescente di ideali di A è stazionaria
3)Ogni famiglia non vuota F di ideali di A ammette almeno un elemento massimale
Ho dimostrato l'equivalenza delle tre dimostrando che 1-->2 2-->3 e 3-->1
Come dimostrare invece l'implicazioni contrarie 1-->3 3-->2 e 2-->1? E possibile secondo voi?
In A i seguenti fatti sono equivalenti:
1)Ogni ideale di A è di tipo finito
2)Ogni successione crescente di ideali di A è stazionaria
3)Ogni famiglia non vuota F di ideali di A ammette almeno un elemento massimale
Ho dimostrato l'equivalenza delle tre dimostrando che 1-->2 2-->3 e 3-->1
Come dimostrare invece l'implicazioni contrarie 1-->3 3-->2 e 2-->1? E possibile secondo voi?
Risposte
In realtà se hai dimostrato le implicazioni che hai detto, è superfluo dimostrare le altre implicazioni. Per esempio vogliamo dimostrare che la uno implica la tre. La uno implica la due e la due implica la tre, ma allora la uno implica la tre.
Si, lo so che è inutile, ma volevo sapere se si potevano dimostrare in ordine inverso, anche perché quel matto del mio prof è uno che fa questo tipo di domande! 
Ah! xD La risposta è sicuramente sì, ma non ne conosco però!
up
Butto giù delle idee velocemente.
Per 2->1, se esistesse un ideale non finitamente generato allora si avrebbe una catena infinita di ideale che non è stazionaria (prendi un elemento per volta di un insieme di generatori).
Per il 1->3 penso si possa sfruttare la finitezza per trovare l'elemento massimale.
Per 3->2 ci dovrei pensare.
Per 2->1, se esistesse un ideale non finitamente generato allora si avrebbe una catena infinita di ideale che non è stazionaria (prendi un elemento per volta di un insieme di generatori).
Per il 1->3 penso si possa sfruttare la finitezza per trovare l'elemento massimale.
Per 3->2 ci dovrei pensare.
Ok grazie 
Adesso provo anche io sulla base di quello che hai detto
Adesso provo anche io sulla base di quello che hai detto
Ho dimostrato così 3-->2. Sia $I_1$ $sube$ $I_2$ $sube$ $ ...$ $sube$ $ I_n$ $sube$ $ ...$ una successione di ideali in A. Poiché F è famiglia non vuota di ideali, per ipotesi abbiamo che $EE$ $I_m$ $in$ F tale che $I_m$ ideale massimale. $I_m$ fa parte della successione di ideali in A, quindi abbiamo:
$I_1$ $sube$ $I_2$ $sube$ $ ...$ $sube$ $ I_n$ $sube$ $ ...$ $sube$ $I_m$ $sube$ $ ... $
Per definizione di ideale massimale, abbiamo però che se $EE$ $I_{m+1}$ $in$ F tale che $I_m$ $sube$ $I_{m+1}$, allora $I_{m+1}$= $I_m$ o $I_{m+1}$=A. Ma quindi si ha:
$I_1$ $sube$ $I_2$ $sube$ $ ...$ $sube$ $ I_n$ $sube$ $ ...$ $sube$ $I_m$ = $I_{m+1}$ = ...
Che verifica la condizione di stazionarietà.
Penso che basti per questo, no?
Invece per gli altri due avrei bisogno di una mano consistente, perché non riesco proprio a partire!
$I_1$ $sube$ $I_2$ $sube$ $ ...$ $sube$ $ I_n$ $sube$ $ ...$ $sube$ $I_m$ $sube$ $ ... $
Per definizione di ideale massimale, abbiamo però che se $EE$ $I_{m+1}$ $in$ F tale che $I_m$ $sube$ $I_{m+1}$, allora $I_{m+1}$= $I_m$ o $I_{m+1}$=A. Ma quindi si ha:
$I_1$ $sube$ $I_2$ $sube$ $ ...$ $sube$ $ I_n$ $sube$ $ ...$ $sube$ $I_m$ = $I_{m+1}$ = ...
Che verifica la condizione di stazionarietà.
Penso che basti per questo, no?
Invece per gli altri due avrei bisogno di una mano consistente, perché non riesco proprio a partire!
Penso di essere riuscito a dimostrare anche 2-->1
Sia I un ideale non nullo di A che non sia finitamente generato; esiste un elemento non nullo $x_1$ $in$ I tale che l'ideale $(x_1)$ $sub$ I. Analogamente esiste un elemento $x_2$ $in$ I/$(x_1)$ tale che l'ideale $(x_1$,$x_2)$ $sub$ I. Procedendo induttivamente si costruirebbe una catena strettamente crescente in finita per cui si può quindi concludere che I è finitamente generato.
Esatto? E ora si va per l'ultima!
*Non so se è consentito fare doppi post, ma mi sentivo in dovere di condividere i traguardi! *
Sia I un ideale non nullo di A che non sia finitamente generato; esiste un elemento non nullo $x_1$ $in$ I tale che l'ideale $(x_1)$ $sub$ I. Analogamente esiste un elemento $x_2$ $in$ I/$(x_1)$ tale che l'ideale $(x_1$,$x_2)$ $sub$ I. Procedendo induttivamente si costruirebbe una catena strettamente crescente in finita per cui si può quindi concludere che I è finitamente generato.
Esatto? E ora si va per l'ultima!
*Non so se è consentito fare doppi post, ma mi sentivo in dovere di condividere i traguardi!
*
È consentito fare doppi post purché il secondo sia sufficientemente informativo. Nel tuo caso riguardano due parti diverse del tuo problema e la distanza tra i due messaggio è comunque di varie ore.
Mi sembrano entrambi corretti.
Mi sembrano entrambi corretti.
Ok, grazie.
Per 1-->3 ho fatto così, ma non mi convince per niente.
Sia F una famiglia non vuota di ideali di A, non vuota significa che $EE$ I $in$ F con I ideale. Se I massimale abbiamo finito, altrimenti $EE$ $I_1$ $in$ F con $I_1$ ideale e I $sub$ $I_1$. Se $I_1$ è massimale abbiamo finito, altrimenti $EE$ $I_2$ $in$ F con $I_2$ ideale e I $sub$ $I_1$ $sub$ $I_2$. E così via. Ad un certo punto ci si deve però fermare, perché altrimenti si andrebbe contro la finitezza degli ideali di A.
La conclusione non mi convince!
Per 1-->3 ho fatto così, ma non mi convince per niente.
Sia F una famiglia non vuota di ideali di A, non vuota significa che $EE$ I $in$ F con I ideale. Se I massimale abbiamo finito, altrimenti $EE$ $I_1$ $in$ F con $I_1$ ideale e I $sub$ $I_1$. Se $I_1$ è massimale abbiamo finito, altrimenti $EE$ $I_2$ $in$ F con $I_2$ ideale e I $sub$ $I_1$ $sub$ $I_2$. E così via. Ad un certo punto ci si deve però fermare, perché altrimenti si andrebbe contro la finitezza degli ideali di A.
La conclusione non mi convince!
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