Anelli, invertibilità dello zero.
Ciao 
Mi domandavo circa il motivo per cui fosse igienico non considerare in un anello, in generale, l’invertibilità dello zero e mi sono risposto nel seguente modo ‘Se in un anello lo zero è invertibile allora esso è formato da solo un elemento’
La dimostrazione di ciò, è la seguente:
Prendo $(R;+,*)$ anello con unità(uso per sbrigarmi le notazioni additive e moltiplicative)
1) $a*0=0*a=0,forall a inR$
2)[size=90] $existsa inR:a*0=0*a=1 => 1=0*a=0,foralla inR=>1=0$[/size]
Quindi in un anello in cui lo zero sia invertibile, necessariamente lo zero deve coincidere con l’unità.
3) se $1=0$ allora, $a inR=>a=a*1=a*0=0$
Ovvero ogni elemento deve coincidere con lo zero(cioè anche con l’unità) e pertanto l’anello è banalmente ridotto a un elemento.
Quindi mi viene da pensare che l’escludere in generale questa proprietà, significa escludere in generale che l’anello contenga un solo elemento.
Un esempio dovrebbe essere $(ZZ)/(ZZ0):=ZZ_0$
Mi sono risposto correttamente?
Mi domandavo circa il motivo per cui fosse igienico non considerare in un anello, in generale, l’invertibilità dello zero e mi sono risposto nel seguente modo ‘Se in un anello lo zero è invertibile allora esso è formato da solo un elemento’
La dimostrazione di ciò, è la seguente:
Prendo $(R;+,*)$ anello con unità(uso per sbrigarmi le notazioni additive e moltiplicative)
1) $a*0=0*a=0,forall a inR$
2)[size=90] $existsa inR:a*0=0*a=1 => 1=0*a=0,foralla inR=>1=0$[/size]
Quindi in un anello in cui lo zero sia invertibile, necessariamente lo zero deve coincidere con l’unità.
3) se $1=0$ allora, $a inR=>a=a*1=a*0=0$
Ovvero ogni elemento deve coincidere con lo zero(cioè anche con l’unità) e pertanto l’anello è banalmente ridotto a un elemento.
Quindi mi viene da pensare che l’escludere in generale questa proprietà, significa escludere in generale che l’anello contenga un solo elemento.
Un esempio dovrebbe essere $(ZZ)/(ZZ0):=ZZ_0$
Mi sono risposto correttamente?
Risposte
Semmai Z_1 : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Zero_ring
L'argomento comunque è giusto. Si tende a non prendere in considerazione l'anello con un solo elemento perché ha un comportamento strano (a rigore è un campo, ma un campo strano, perché è finito ma non ha per cardinalità la potenza di un primo. Oppure sì. Ma allora qual è la sua caratteristica? 0? 2? Infinito?)
L'argomento comunque è giusto. Si tende a non prendere in considerazione l'anello con un solo elemento perché ha un comportamento strano (a rigore è un campo, ma un campo strano, perché è finito ma non ha per cardinalità la potenza di un primo. Oppure sì. Ma allora qual è la sua caratteristica? 0? 2? Infinito?)
In tutto questo devo modificare il titolo 
Una cavolata dovevo scriverla per forza, lo sai.
Ora leggo quell’articolo, grazie!
PS:
[ot]quelle ‘dispense’ che mi hai mandato, mi stanno tornando molto utili[/ot]
Una cavolata dovevo scriverla per forza, lo sai.
Ora leggo quell’articolo, grazie!
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[ot]quelle ‘dispense’ che mi hai mandato, mi stanno tornando molto utili
[/ot]
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