Anelli - Herstein [ex] + teoria

[Kashaman]

Confido che l'Herstein delle volte mi mette in difficoltà.
Da ieri sera sto sbattendo la testa su questo quesito, non avendo addietro buoni risultati XD

Problema
Sia $A$ un anello.
Dimostrare che
se $AA x in A : x^2=x*x=x $(1) allora $A$ è commutativo.


La mia idea è stata questa, partire dalla (1). (confido però che forse è alquanto errata, do sotto inteso che $A$ è unitario, non è esplicito nel problema....)
Siano $a in A$.
se $a^2=a=>a^2-a=0$
applico la proprietà distributiva a destra ed ho che.
$a^2-a=(a-1_a)*a =b*a$ una volta posto $b=a-1_a$.
Allo stesso modo, applico la proprietà distributiva a sinistra, ed ho che
$a^2-a=a*(a-1_a)=a*b$ una volta posto $b=a-1_A$.
da cui segue che $a*b=b*a$.


Fatemi sapere che ne pensate, grazie in anticipo

[Gi81]

Ciò che dici all'inizio è corretto: non puoi supporre che $A$ sia unitario.
Infatti la tesi vale per un anello qualunque.

Inoltre, quando poni $b= a -1_A$, perdi la generalità di $b$. Infatti non puoi scegliere tu $b$, deve essere generico.



L'esercizio non è proprio immediato da risolvere.
Prima di tutto si deve dimostrare che $AA x in A$ si ha $x+x=0$

Lasciamo un attimo da parte la dimostrazione di

.

Ora possiamo dimostrare ciò che ci serve: partiamo da $(x+y)^2$ con $x,y in A$ generici.
Si ha $(x+y)^2= (x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2$ ma anche $(x+y)^2= x+y$

Dunque $x^2+xy+yx+y^2= x+y$, ovvero ...

[Kashaman]

Mhh, proviamo.
Allora, supponendo $x,y in A$.
Notiamo che $(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2$
e che , dalle ipotesi date $(x+y)^2=x+y$
e che quindi $x^2+xy+yx+y^2=x+y$.
Ma sappiamo che $x^2=x , y^2=y$
e che quindi,
$xy+yx=0$.(1)
Ma dal fatto che $AA x in A : x+x=0$ segue che $xy+xy=0$ e cioè che il simmetrico di $xy $ in $A$ è proprio $xy$.
Ma $(A,+)$ è un gruppo, quindi il simmetrico di ogni elemento di $A$ è unico. E quindi, poiché vale la $1)$, non può che risultare che $xy=yx$. Ciò prova, data la generalità di $x,y$ che $A$ è commutativo,giusto?

Ora sarebbe da appurare che $AA x in A : x+x=0$.... cosa non molto semplice

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Ci provo.
sia $x in A$ , per ipotesi ho che $x^2=x$.
Ora sia $y=-x$ l'opposto di $x$ in A. poiché $y in A $ segue che anche
$y^2= y=-x$ , dal'altra parte , $y^2= y*y = (-x)(-x) = x^2=x$
e che quindi $y=x=-x=y^2$. Data l'unicità di $y$ , non può che essere $y=x$.

[Kashaman]

Aspetta Gi, forse ci sono.
Voglio provare che $AA x in A : x+x=0$
dalle ipotesi date abbiamo che $(x+x)^2=x+x$
analogamente sviluppando il prodotto si ha che $(x+x)^2 = x^2+x^2+x^2+x^2$
da cui
$x^2+x^2+x^2+x^2=x+x$ , ma sappiamo che $x^2=x$
e quindi
$x^2+x^2+x^2+x^2=x+x => x+x+x+x=x+x => x+x=0$. La tesi.

[Gi81]

Si, mi sembra che vada tutto bene

[carlocecca]

Salve a tutti: io sono curioso di una cosa che ho trovato studiando teoria dei numeri elementare, e' una cosa banale ma non so
se e' implicita e quindi solo un altro modo di vedere le solite cose oppure e' interessante... E' questa:
Premessa: a,b: interi (anche negativi); k: intero positivo
1) Tutti i fattori primi delle successioni estese di Lucas (a^p+b^p)/(a+b), con p=primo e non divisore ne di a, ne di b,
ne di (a-b), sono della forma k*p + 1
2) Per qualsiasi numero primo P della forma P=k*p+1 esiste almeno un numero della forma (a^p+b^p)/(a+b) di cui P e' fattore
C'e' qualcuno che per favore mi puo' dire se e' una caspiata oppure no?
Grazie

[carlocecca]

Scusate, manca una condizione: a e b devono essere primi tra di loro..
E scusate anche se forse mi sono intromesso in un argomento che forse non c'entra niente..

[carlocecca]

Lo sapevo, sono troppo niurante x voi...

[Gi81]

Ciao carlocecca, benvenuto nel forum!
Non conosco le successioni estese di Lucas. Non è che il punto 1) può essere scritto così?

Siano $a,b in ZZ$ primi tra loro.
Per ogni $p$ numero primo che non divide nè $a$ nè $b$ si ha che tutti i fattori primi di \[\frac{a^p +b^p}{a+b}\]sono congrui a $1$ modulo $p$

[Kashaman]

Ho questo esercizio di carattere teorico, mi blocca un poco

Siano $(A_1,+_1,*_1)$ e $(A_2,+_2,*_2)$ anelli unitari. e sia $f : A_1-> A_2$ un isomorfismo di anelli.
Provare che $f(U(A_1))=U(A_2)$ e che $f$ induce per restrizione e corestrizione un isomorfismo di gruppi moltiplicativi.
$f| : U(A_1)->U(A_2)$


Allora,

Poiché $f$ è un isomorfismo e quindi un epimorfismo ,essendo $A_1$ ed $A_2$ unitari segue che $f$ manda $1_(A_1)->1_(A_2)$
e in più $AA x in A_1 : f(x^-1)=f(x)^-1$ . E cioè associa ogni elemento invertibile di $A_1$ uno invertibile di $A_2$ e poiché $f$ è iniettivo, ne associa uno ed un solo. Inoltre essendo $f$ suriettiva segue che $|A_1|=|A_2|$.
e quindi al variare di $x in A_1$ tramite $f$ si associano tutti gli elementi invertibili di $A_2$
pertanto
$f(A_1)=U(A_2)$
restringendo e corestringendo $f| : U(A_1)->U(A_2)$ otteniamo un'applicazione iniettiva e suriettiva.
Inoltre $f$ conserva il prodotto, visto che lo conservava in $f$.
pertanto $f|$ è un isomorfismo. e ne segue che se $A_1$ ed $A_2$ sono anelli isomorfi , lo sono anche i loro gruppi formati dalle unità.


Ho fatto tanti pastrocchi?
grazie mille

[carlocecca]

x Gi8.
Esattamente, solo che il segno + al numeratore e al denominatore puo' essere sostituito anche col segno -, a e b devono essere positivi (...) e oltre la condizione che hai messo tu, bisogna aggiungere anche che p non deve dividere a+b (se il segno di cui sopra e' +) o, rispettivamente a-b (se il segno scelto e' -)..
Inoltre, oltre la regola che descrivi tu, vale anche l'opposto: ogni numero primo P congruo 1 modulo un altro primo p, e' fattore
di almeno una forma del genere (adesso al volo non realizzo e non ricordo se in realta' sono infinite)..
Ciao, grazie della risposta e scusa il ritardo.