Anelli equivalenti e bimoduli
Ciao a tutti, sto studiando il teorema di Morita sull'equivalenza di categorie di moduli. Devo dimostrare il seguente fatto, ma ho trovato delle difficoltà.
Siano $R$ and $S$ anelli equivalenti con equivalenze inverse $F: _{R}M \to _{S}M$ e $G: _{S}M \to _{R}M$. Siano $P=F(R)$, $Q=G(S)$.
Allora $P$ è (S,R) bimodulo e $Q$ è (R,S) bimodulo.
Nella dimostrazione l'autore richiama questi 2 isomorfismi di anelli:
$R \cong End(R)$ tramite moltiplicazione a destra $\lambda$ per uno scalare in $R$ e $End(R) \cong End_S(P)$ tramite $F$.
Dunque c'è un isomorfismo di anelli $r \mapsto F(\lambda(r))$ che devo usare per definire la motliplicazione destra di un elemento di $P$ per uno scalare di $R$ per dimostrare che $P$ è un $R$-modulo destro. La dimostrazione cita inoltre il fatto che $R$ è $(R,R)$ bimodulo e che $F$ è un funtore additivo.
Se qualcuno ha dei suggerimenti ne sarei grata! Grazie!
Siano $R$ and $S$ anelli equivalenti con equivalenze inverse $F: _{R}M \to _{S}M$ e $G: _{S}M \to _{R}M$. Siano $P=F(R)$, $Q=G(S)$.
Allora $P$ è (S,R) bimodulo e $Q$ è (R,S) bimodulo.
Nella dimostrazione l'autore richiama questi 2 isomorfismi di anelli:
$R \cong End(R)$ tramite moltiplicazione a destra $\lambda$ per uno scalare in $R$ e $End(R) \cong End_S(P)$ tramite $F$.
Dunque c'è un isomorfismo di anelli $r \mapsto F(\lambda(r))$ che devo usare per definire la motliplicazione destra di un elemento di $P$ per uno scalare di $R$ per dimostrare che $P$ è un $R$-modulo destro. La dimostrazione cita inoltre il fatto che $R$ è $(R,R)$ bimodulo e che $F$ è un funtore additivo.
Se qualcuno ha dei suggerimenti ne sarei grata! Grazie!
Risposte
Cosa non capisci di questa dimostrazione? Non riesci a riempire da sola i pezzi mancanti? In effetti non si tratta nemmeno di riempire dei buchi la dimostrazione è proprio quella. Cosa non va?
Se non ho capito male devo definire una moltiplicazione $p \cdot r$ tale che il risultato sia in $P$.
Potrebbe essere $(p,r) \mapsto p \cdot r = F(\lambda(r))(p)$?
In questo modo $F(\lambda(r)) \in End_S(P)$ dunque $p\cdot r \in P$.
A questo punto dovrei ancora dimostrare che sono verificate le condizioni affinchè $P$ sia $R-$modulo destro?
Potrebbe essere $(p,r) \mapsto p \cdot r = F(\lambda(r))(p)$?
In questo modo $F(\lambda(r)) \in End_S(P)$ dunque $p\cdot r \in P$.
A questo punto dovrei ancora dimostrare che sono verificate le condizioni affinchè $P$ sia $R-$modulo destro?
$P$ è un $R$-modulo destro se esiste un'azione destra di $R$ su $P$, ovvero un omomorfismo di anelli \(R^\text{op}\to \text{End}_S(P)\); quando hai trovato questo, hai finito. Idem per $Q$.
Grazie per il suggerimento.
Immagino che si tratti semplicemente di una riformulazione della richiesta di avere un prodotto scalare con determinate caratteristiche, che si traduce nell'avere un endomorfismo di $P$ per ogni elemento di $R$. Non mi è chiaro però perchè consideriamo $End_S(P)$ (nella notazione dell'autore, la $S$ è a pedice sinistro di $P$ e si intendono gli endomorfismi di $P$ visto come $S$ modulo sinistro che operano a destra. Inoltre non capisco come mai sia necessario considerare $R^{op}$ anzichè $R$. Se potessi chiarirmi questi dubbi, dovrei poi avere tutto chiaro, intanto grazie mille per la disponibilità!
Immagino che si tratti semplicemente di una riformulazione della richiesta di avere un prodotto scalare con determinate caratteristiche, che si traduce nell'avere un endomorfismo di $P$ per ogni elemento di $R$. Non mi è chiaro però perchè consideriamo $End_S(P)$ (nella notazione dell'autore, la $S$ è a pedice sinistro di $P$ e si intendono gli endomorfismi di $P$ visto come $S$ modulo sinistro che operano a destra. Inoltre non capisco come mai sia necessario considerare $R^{op}$ anzichè $R$. Se potessi chiarirmi questi dubbi, dovrei poi avere tutto chiaro, intanto grazie mille per la disponibilità!
Non è un suggerimento, ti ho risposto 
No, quando scrivi \(\text{End}_S(P)\) non stai necessariamente intendendo \(\text{End}({}_SP)\).
E' necessario considerare \(R^\text{op}\) perché l'azione destra è controvariante.
No, quando scrivi \(\text{End}_S(P)\) non stai necessariamente intendendo \(\text{End}({}_SP)\).
E' necessario considerare \(R^\text{op}\) perché l'azione destra è controvariante.
Si scusami, sono io che ho sbagliato a scrivere. L'autore usa la notazione con $S$ a pedice dentro la parentesi (chiedo scusa ma non riesco a riprodurla in LaTex)
Un $R$-modulo destro è semplicemente un $R^{op}$-modulo sinistro giusto? Scusami ma come avrai nottao sono parecchio arrugginita e arrivo a scoppio ritardato 
Ho visto che hai postato su MSE questa domanda, hai risolto ora?
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