Anelli e proprietà di base
Salve a tutti,
voglio vedere se ho capito bene le proprietà di base degli anelli, quindi vi riporto qui quello che so e magari mi correggete ove sbaglio.
Quindi a grandi linee un anello $(A,+,*)$ non è altro che una struttura algebrica formata da due operazioni, $+$ e $*$, ovvero la possiamo vedere come due gruppi, uno additivo ed uno moltiplicativo, che operano su uno stesso insieme.
Scendendo nei particolari $(A,+,*)$ è un anello quando:
1) $(A,+)$ è un gruppo abelliano;
2) $(A,*)$ è associativa e distributiva rispetto all'operazione $+$. Ma quindi $(A,*)$ che tipo di struttura algebrica sarà? qualsiasi basta che rispecchia quelle due proprietà?
Andando oltre un anello è unitario se esiste l'elemento neutro di $(A,*)$ mentre l'elemento neutro di $(A,+)$ sarà l'elemento neutro dell'anello? visto che lo chiama "zero di a"
Poi abbiamo introdotto la proposizione che parla dei divisori dello zero, ovvero
$EE a,b in A$ con $a != 0, b != 0$ t.c $a*b=0_A$
Anche se, come ci possono tornare utili i divisori dello zero?
Poi mi da qualche proprietà riguardo a $1_A$.
Sono stato sommario perchè è inutile che riporto pari pari tutte le formule, ma grossomodo ne ho capito il senso? anche se ripeto, sappiamo che l'operazione $+$ su $A$ deve determinare un anello. Ma l'operazione $*$ ancora non mi è chiaro come opera e cosa determina.
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
voglio vedere se ho capito bene le proprietà di base degli anelli, quindi vi riporto qui quello che so e magari mi correggete ove sbaglio.
Quindi a grandi linee un anello $(A,+,*)$ non è altro che una struttura algebrica formata da due operazioni, $+$ e $*$, ovvero la possiamo vedere come due gruppi, uno additivo ed uno moltiplicativo, che operano su uno stesso insieme.
Scendendo nei particolari $(A,+,*)$ è un anello quando:
1) $(A,+)$ è un gruppo abelliano;
2) $(A,*)$ è associativa e distributiva rispetto all'operazione $+$. Ma quindi $(A,*)$ che tipo di struttura algebrica sarà? qualsiasi basta che rispecchia quelle due proprietà?
Andando oltre un anello è unitario se esiste l'elemento neutro di $(A,*)$ mentre l'elemento neutro di $(A,+)$ sarà l'elemento neutro dell'anello? visto che lo chiama "zero di a"
Poi abbiamo introdotto la proposizione che parla dei divisori dello zero, ovvero
$EE a,b in A$ con $a != 0, b != 0$ t.c $a*b=0_A$
Anche se, come ci possono tornare utili i divisori dello zero?
Poi mi da qualche proprietà riguardo a $1_A$.
Sono stato sommario perchè è inutile che riporto pari pari tutte le formule, ma grossomodo ne ho capito il senso? anche se ripeto, sappiamo che l'operazione $+$ su $A$ deve determinare un anello. Ma l'operazione $*$ ancora non mi è chiaro come opera e cosa determina.
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Risposte
Scusate ma sono arrivato ad una traccia di cui non ho la più pallida idea di come svolgerla, essa dice:
Nell'anello $(ZZ_315,+,*)$
svolgere $[181]_315*[67]_315$
tenendo conto che $315=5*7*9$
Ci ha spiegato prima che si può scomporre un elemento di $ZZ_n$ sfruttando la fattorizzazione di $n$ e facendone poi il prodotto diretto.
Quindi di regola dovrei scomporre i due elementi, fare il prodotto diretto di due elementi, e quindi riuscire ad ottenere un equazione semplificata più facile da moltiplicare?
Questo a parole, ma non avendoci mostrato nemmeno un esempio non saprei come metterlo in atto. Potreste farmi vedere voi come svolgereste questo esercizio? (tanto poi ne ho un'altro e proverei a sviluppare quello).
Pensate che quando ha dettato la traccia non siamo manco riusciti a scriverla, ha finito per scriverla alla lavagna. E purtroppo il libro gli accenna solamente questi gli anelli.
Nell'anello $(ZZ_315,+,*)$
svolgere $[181]_315*[67]_315$
tenendo conto che $315=5*7*9$
Ci ha spiegato prima che si può scomporre un elemento di $ZZ_n$ sfruttando la fattorizzazione di $n$ e facendone poi il prodotto diretto.
Quindi di regola dovrei scomporre i due elementi, fare il prodotto diretto di due elementi, e quindi riuscire ad ottenere un equazione semplificata più facile da moltiplicare?
Questo a parole, ma non avendoci mostrato nemmeno un esempio non saprei come metterlo in atto. Potreste farmi vedere voi come svolgereste questo esercizio? (tanto poi ne ho un'altro e proverei a sviluppare quello).
Pensate che quando ha dettato la traccia non siamo manco riusciti a scriverla, ha finito per scriverla alla lavagna. E purtroppo il libro gli accenna solamente questi gli anelli.
[tex](A,\cdot)[/tex] è un semigruppo.
Non ha senso parlare di elemento neutro dell'anello: devi sempre riferirti all'operazione. Anche in un campo: prendi [tex](\mathbb{R}, +, \cdot)[/tex], qui c'è un elemento neutro per la somma ed uno per la moltiplicazione, ma io non ho mai sentito parlare di elemento neutro del campo. Lo stesso discorso vale per l'anello.
Non ha senso parlare di elemento neutro dell'anello: devi sempre riferirti all'operazione. Anche in un campo: prendi [tex](\mathbb{R}, +, \cdot)[/tex], qui c'è un elemento neutro per la somma ed uno per la moltiplicazione, ma io non ho mai sentito parlare di elemento neutro del campo. Lo stesso discorso vale per l'anello.
Daccordo, e per quel che riguarda l'esercizio di cui sopra, come lo svolgeresti?
Poichè 5,7,9 sono coprimi tra di loro, l'anello $ZZ_(315)$ è isomorfo a $ZZ_(5) xZZ_(7) xZZ_(9)$. A questo punto basta porre
$[181]_(315)=([181]_(5),[181]_(7),[181]_(9))=([1]_(5),[6]_(7),[1]_(9))$
$[67]_(315)=([67]_(5),[67]_(7),[67]_(9))=([2]_(5),[4]_(7),[4]_(9))$
Il risultato della moltiplicazione tra questi due elementi del prodotto diretto $ZZ_(5) xZZ_(7) xZZ_(9)$ è $([2]_(5),[3]_(7),[4]_(9))$
Impostando un sistema cinese di congruenze lineari ottieni come risultato $[157]_(315)$ chè è appunto il prodotto cercato.
Io farei così, però ti dico che esercizi di questo tipo non ne ho mai svolti...
$[181]_(315)=([181]_(5),[181]_(7),[181]_(9))=([1]_(5),[6]_(7),[1]_(9))$
$[67]_(315)=([67]_(5),[67]_(7),[67]_(9))=([2]_(5),[4]_(7),[4]_(9))$
Il risultato della moltiplicazione tra questi due elementi del prodotto diretto $ZZ_(5) xZZ_(7) xZZ_(9)$ è $([2]_(5),[3]_(7),[4]_(9))$
Impostando un sistema cinese di congruenze lineari ottieni come risultato $[157]_(315)$ chè è appunto il prodotto cercato.
Io farei così, però ti dico che esercizi di questo tipo non ne ho mai svolti...
Io me ne sarei uscito prendendo il resto di [tex]181\cdot67\div315[/tex].
"Newdementia":
Poichè 5,7,9 sono coprimi tra di loro, l'anello $ZZ_(315)$ è isomorfo a $ZZ_(5) xZZ_(7) xZZ_(9)$. A questo punto basta porre
$[181]_(315)=([181]_(5),[181]_(7),[181]_(9))=([1]_(5),[6]_(7),[1]_(9))$
$[67]_(315)=([67]_(5),[67]_(7),[67]_(9))=([2]_(5),[4]_(7),[4]_(9))$
Il risultato della moltiplicazione tra questi due elementi del prodotto diretto $ZZ_(5) xZZ_(7) xZZ_(9)$ è $([2]_(5),[3]_(7),[4]_(9))$
Impostando un sistema cinese di congruenze lineari ottieni come risultato $[157]_(315)$ chè è appunto il prodotto cercato.
Io farei così, però ti dico che esercizi di questo tipo non ne ho mai svolti...
Si era proprio questo il metodo, descritto grossomodo in via teorica, che dovevo applicare.
Volevo farti però giusto una domanda: Perchè la scomposizione dei due numeri la scrivi cosi come ennupla ordinata? c'è un ragionamento alle spalle o ne deriva solo dal fatto che poi va fatto il prodotto diretto "tra fattori della stessa classe" ?
Il prodotto va fatto tra fattori della stessa classe perchè così è stato definito l'anello prodotto diretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo