Anelli e omomorfismi
Salve a tutti!
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto per il seguente esercizio?
Dato $R$ un anello unitario, si assuma $psi: R->R$ omomorfismo di anelli tale che: $psi(x)=x^2$.
Si dimostri che $R$ è un anello commutativo e che $ -x=x $ per ogni $x in R$
Ho provato a partire dal fatto che devo dimostrare $xy=yx$ , ma essendo solo un omomorfismo non posso sfruttare le proprietà di ingettività e surgettività e poi ho ragionato su $Ker(psi)$ che è un ideale bilatero di R, ma non riesco a trovare l'idea giusta!
Grazie !
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto per il seguente esercizio?
Dato $R$ un anello unitario, si assuma $psi: R->R$ omomorfismo di anelli tale che: $psi(x)=x^2$.
Si dimostri che $R$ è un anello commutativo e che $ -x=x $ per ogni $x in R$
Ho provato a partire dal fatto che devo dimostrare $xy=yx$ , ma essendo solo un omomorfismo non posso sfruttare le proprietà di ingettività e surgettività e poi ho ragionato su $Ker(psi)$ che è un ideale bilatero di R, ma non riesco a trovare l'idea giusta!
Grazie !
Risposte
Beh, intanto puoi osservare che dati \(x, -x \in\ R \) si ha che \(\psi(x)=\psi(-x)=x^2\); inoltre, siccome \(\psi\) è omomorfismo, \(\psi(x-(-x))=\psi(x) - \psi(-x)= x^2 - x^2 = 0\), e ne consegue che \(x=-x\).
Questo ci dice che l'anello ha caratteristica \(2\), visto che \(1=-1\)
Per provare il primo punto si potrebbe procedere così: dati \(x,y \in R\), considero \[\psi(x-y)=(x-y)^2 = x^2 - xy - yx + y^2 \]
inoltre \[\psi(x-y)=\psi(x)-\psi(y)=x^2 - y^2\]
quindi \[x^2 - xy -yx +y^2 = x^2 - y^2 \ \longrightarrow \ -xy -yx=0\] e cioè \[xy=yx\] siccome siamo in caratteristica \(2\).
Questo ci dice che l'anello ha caratteristica \(2\), visto che \(1=-1\)
Per provare il primo punto si potrebbe procedere così: dati \(x,y \in R\), considero \[\psi(x-y)=(x-y)^2 = x^2 - xy - yx + y^2 \]
inoltre \[\psi(x-y)=\psi(x)-\psi(y)=x^2 - y^2\]
quindi \[x^2 - xy -yx +y^2 = x^2 - y^2 \ \longrightarrow \ -xy -yx=0\] e cioè \[xy=yx\] siccome siamo in caratteristica \(2\).
"Delirium":
inoltre, siccome \(\psi\) è omomorfismo, \(\psi(x-(-x))=\psi(x) - \psi(-x)= x^2 - x^2 = 0\), e ne consegue che \(x=-x\).
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Intanto la ringrazio! Poi vorrei sapere : è possibile eseguire questo passaggio anche se non è un omo ingettivo? Ovvero : poiché $(\psi(x-(-x))=\psi(x) - \psi(-x)= x^2 - x^2 = 0\)$ non dovrei dire che $x-(-x)$ $in$ $Ker(psi)$, perché non è detto che quell'elemento sia proprio $0$, era proprio questo il passaggio al quale mi bloccavo, non so se sono stata chiara...
In effetti hai ragione, quel ragionamento è incompleto. Tuttavia credo di aver trovato una scorciatoia: basta infatti osservare che \(\psi(2)=4 = \psi(1 +1)=\psi(1) + \psi(1) = 2\), e ne uscirebbe che \(2=4\). Se ne deduce pertanto che deve essere \(1+1=2=0\) (basta sottrarre due volte l'unità ad entrambi i membri), e cioè che l'anello ha caratteristica \(2\).
Considerando ciò di cui stiamo parlando, è altamente improbabile che tu sia più giovane di me... quindi dammi del tu
Considerando ciò di cui stiamo parlando, è altamente improbabile che tu sia più giovane di me... quindi dammi del tu
Perfetto! Ti ringrazio! 
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