Anelli e campi (polinomi)
Salve,
ho un paio di domande sugli anelli dei polinomi (e campi).
1) Dato l'anello quoziente $A/I$ con $A$ anello e $I$ ideale, ho capito che $A/I$ è l'insieme delle classi del tipo: $[a]=I+a$ con $a \in A$
Quindi ora prendiamo come esempio l'esercizio in cui $A=Z7$ e $I=x^2-3$ e creiamo l'insieme quoziente. Non riesco a capire il senso di questo insieme dato che $I$ non è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto esterno (come da definizione), ma è un polinomio.
Di conseguenza non riesco a capire quali sono gli elementi di $A/I$.
2) Dato $A/I$, con $I=(f(x))$, so che se $f(x)$ è riducibile, allora $A/I$ è un anello, mentre se $f(x)$ è irriducibile, allora $A/I$ è un campo.
Per vedere se $f(x)$ è riducibile, mi basta vedere se esiste una radice del polinomio, ma non è vero il viceversa (se non esistono radici non è detto che $f(x)$ sia irriducibile). Confermate?
Quello che vi chiedo è: quando non trovo radici di $f(x)$, che cosa devo controllare per capire se è veramente irriducibile?
Come esempio possiamo riportarci a quello della domanda 1, dato che ho già controllato che non esistono radici per $f(x)=x^2-3$.
Grazie in anticipo per le risposte.
Saluti
ho un paio di domande sugli anelli dei polinomi (e campi).
1) Dato l'anello quoziente $A/I$ con $A$ anello e $I$ ideale, ho capito che $A/I$ è l'insieme delle classi del tipo: $[a]=I+a$ con $a \in A$
Quindi ora prendiamo come esempio l'esercizio in cui $A=Z7$ e $I=x^2-3$ e creiamo l'insieme quoziente. Non riesco a capire il senso di questo insieme dato che $I$ non è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto esterno (come da definizione), ma è un polinomio.
Di conseguenza non riesco a capire quali sono gli elementi di $A/I$.
2) Dato $A/I$, con $I=(f(x))$, so che se $f(x)$ è riducibile, allora $A/I$ è un anello, mentre se $f(x)$ è irriducibile, allora $A/I$ è un campo.
Per vedere se $f(x)$ è riducibile, mi basta vedere se esiste una radice del polinomio, ma non è vero il viceversa (se non esistono radici non è detto che $f(x)$ sia irriducibile). Confermate?
Quello che vi chiedo è: quando non trovo radici di $f(x)$, che cosa devo controllare per capire se è veramente irriducibile?
Come esempio possiamo riportarci a quello della domanda 1, dato che ho già controllato che non esistono radici per $f(x)=x^2-3$.
Grazie in anticipo per le risposte.
Saluti
Risposte
"chris9191":
Salve,
ho un paio di domande sugli anelli dei polinomi (e campi).
1) Dato l'anello quoziente $A/I$ con $A$ anello e $I$ ideale, ho capito che $A/I$ è l'insieme delle classi del tipo: $[a]=I+a$ con $a \in A$
Quindi ora prendiamo come esempio l'esercizio in cui $A=Z7$ e $I=x^2-3$ e creiamo l'insieme quoziente. Non riesco a capire il senso di questo insieme dato che $I$ non è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto esterno (come da definizione), ma è un polinomio.
Di conseguenza non riesco a capire quali sono gli elementi di $A/I$. [...]
Qui al massimo sarà \(A= \mathbb{Z}_7 [X]\).
"chris9191":
[...] Quello che vi chiedo è: quando non trovo radici di $f(x)$, che cosa devo controllare per capire se è veramente irriducibile? [...]
Eeeh, bella domanda. Ci sono alcuni criteri per stabilire (per esempio il criterio di Eisenstein, o la riduzione \(\pmod{p}\)) se un polinomio è o meno irriducibile, ma essi sono ben lungi dal coprire tutto lo spettro dei casi, soprattutto quando si sale di grado.
"Delirium":
[quote="chris9191"]Salve,
ho un paio di domande sugli anelli dei polinomi (e campi).
1) Dato l'anello quoziente $A/I$ con $A$ anello e $I$ ideale, ho capito che $A/I$ è l'insieme delle classi del tipo: $[a]=I+a$ con $a \in A$
Quindi ora prendiamo come esempio l'esercizio in cui $A=Z7$ e $I=x^2-3$ e creiamo l'insieme quoziente. Non riesco a capire il senso di questo insieme dato che $I$ non è un sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto esterno (come da definizione), ma è un polinomio.
Di conseguenza non riesco a capire quali sono gli elementi di $A/I$. [...]
Qui al massimo sarà \(A= \mathbb{Z}_7 [X]\).
"chris9191":
[...] Quello che vi chiedo è: quando non trovo radici di $f(x)$, che cosa devo controllare per capire se è veramente irriducibile? [...]
Eeeh, bella domanda. Ci sono alcuni criteri per stabilire (per esempio il criterio di Eisenstein, o la riduzione \(\pmod{p}\)) se un polinomio è o meno irriducibile, ma essi sono ben lungi dal coprire tutto lo spettro dei casi, soprattutto quando si sale di grado.[/quote]
Si nella domanda 1 ho sbagliato a scrivere, intendevo $A=\mathbb{Z}_7[X]$.
Lasciando perdere la domanda 2, per quanto riguarda la 1, quali sono gli elementi di $A/I$?
Gli elementi di \(A/I\), ove \(A=\mathbb{Z}_7 [X]\) e \(I=(X^2 - 3)\), sono tutti del tipo \(p(X) + (X^2 -3)\) ove \(p(X) \in \mathbb{Z}_7 [X] \).
Tu stai prendendo l'ideale $I$ generato da quel polinomio; dato un anello (associativo, unitario) $A$ l'intersezione di un numero arbitrario di ideali e' ancora un ideale[#], dunque puoi definire l'ideale $(S)$ generato da un sottoinsieme $A\supset S$ come l'intersezione di tutti gli ideali di $A$ che contengono gli elementi di $S$, oppure (e' equivalente[#]) come l'insieme degli elementi di $A$ del tipo $\sum_{i=1}^n x_i s_i y_i$ al variare di $n\in\mathbb N$, \(x_1,\dots, x_n,y_1,\dots, y_n\in A$, $s_1,\dots, s_n\in S\).
Allora adesso dimostra quello che ho segnato con [#] e applica questa definizione al caso $A=\mathbb Z_7[X]$, $S=\{X^2-3\}$: il fatto che $A$ e' un anello piuttosto particolare dovrebbe indurti a capire che \(A/I\) e' fatto da polinomi del tipo $p(X)+I$, dove $p(X)$ ha grado minore di 2 (se avesse grado 2, lo divideresti per $X^2-3$ e terresti solo il resto).
Allora adesso dimostra quello che ho segnato con [#] e applica questa definizione al caso $A=\mathbb Z_7[X]$, $S=\{X^2-3\}$: il fatto che $A$ e' un anello piuttosto particolare dovrebbe indurti a capire che \(A/I\) e' fatto da polinomi del tipo $p(X)+I$, dove $p(X)$ ha grado minore di 2 (se avesse grado 2, lo divideresti per $X^2-3$ e terresti solo il resto).
Grazie ad entrambi, ora è più chiaro.
Saluti
Saluti
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