Anelli di frazioni

[Amartya]

Buon giorno a tutti,

stavo studiando l'anello delle frazioni allorquando si passa dal caso in cui ci troviamo in un Dominio di Integrità ad un'anello qualsiasi, dato l'omomorfismo canonico $f: A -> S^-1A$ esso è rappresentato naturalmente da $f(x) =x/1$.
Perchè si mette l'$1$? L'unità non è un elemento neutro rispetto alle operazioni.

Vorrei capire attraverso un esempio cosa succede se non metto l'$1$.

Mi è chiaro che dati due elementi $a/s$ e $b/t$ ed introdotta la relazione di equivalenza $(at-bs)*s =0$ per qualche elemento $s in S$, quella $s$ è necessaria perchè trovandoci in un anello qualsiasi non è necessariamente detto che $at = bs$ ma non riesco a collegare questo concetto con quell'$1$.

Grazie in anticipo

Emanuele

[Trilogy]

L'$1$ è l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. Prova a mettere un elemento $t$ a caso al denominatore e dimostrare qualche proprietà di $f$. Intendo proprio le cose più basiche, ad esempio che è ben definita, che è un omomorfismo di anelli, la proprietà universale (se sai cos'è)... Magari così ci si rende conto del perché serva l'$1$.

[Amartya]

"Trilogy":L'$1$ è l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. Prova a mettere un elemento $t$ a caso al denominatore e dimostrare qualche proprietà di $f$. Intendo proprio le cose più basiche, ad esempio che è ben definita, che è un omomorfismo di anelli, la proprietà universale (se sai cos'è)... Magari così ci si rende conto del perché serva l'$1$.

grazie della risposta.

Ho riflettuto sulle tue indicazioni. Per quanto riguarda la proprietà universale mi è chiara, nel senso che se dato un omomorfismo $g: A->B$ e $g(s)$ è invertibile per $AA s in S$ $=>$ $EE!$ $h$ $:$ $S^-1A->B$ $:$ $g = h*f$.

Intuitivamente la $f$ mi sembra ben definita infatti siano $a,b in A$ e $t in S$, $:$ $a=b$ $=>$ $a/t = b/t in S^-1A$ quindi $f(a)/t = f(b)/t <=> f(a) = f(b)$

La butto li senza essere formalmente corretto, può essere che quell'uno serva ad agganciare un elemento di $S$ nel caso $A$ non sia un D.I., voglio dire $S$ si comporta come il quoziente dell'omomorfismo canonico dato da $\pi : A ->A/a$ dove $a $ è un ideale di $A$ e $\pi = x+a$, e quindi gli elementi di $S$ si comporterebbero come zero divisori, stavolta però non più per un singolo elemento di $A$ bensì per la differenza di due suoi elementi. D'altra parte tale ragionamento spiegherebbe anche perchè se $f(x) = f(y) <=> x/1 =y/1 <=> (x-y)t = 0$, $t in S$, cioè $t$ annulla la differenza $x-y$ e ciò implicherebbe non necessariamente, non essendo $A$ un D.I., che $x = y$ ma che $xt = yt$ sempre, in altre parole $S$ sarebbe l'annullatore degli elementi che appartengono tutti ad una specifica classe di equivalenza. Ovviamente nel caso $A$ fosse un Dominio allora $S = A = (1)$.

Penso che sia così ma la mia testa si è convinta al 95%, mi sfugge qualche dettaglio.

Grazie ancora

[Trilogy]

Io avevo pensato al fatto che si vuole che $f(ab)=f(a)f(b)$, cioè ${ab}/t={ab}/t^2$, ma in effetti questo implicherebbe solo l'esistenza di un $s\in S$ tale che bla bla bla.

Nel frattempo mi è venuta in mente una risposta forse non molto filosofica ma che almeno sembra sensata e veloce: la definizione di questo omomorfismo deve andar bene per tutti i casi. E l'unico elemento che sappiamo essere sicuramente in $S$ è l'$1$.

[Amartya]

"Trilogy":Io avevo pensato al fatto che si vuole che $f(ab)=f(a)f(b)$, cioè ${ab}/t={ab}/t^2$, ma in effetti questo implicherebbe solo l'esistenza di un $s\in S$ tale che bla bla bla.

Nel frattempo mi è venuta in mente una risposta forse non molto filosofica ma che almeno sembra sensata e veloce: la definizione di questo omomorfismo deve andar bene per tutti i casi. E l'unico elemento che sappiamo essere sicuramente in $S$ è l'$1$.

Purtroppo nonostante abbia visto numerosi documenti nonchè esercizi sulla localizzazione degli anelli non ho trovato un solo esempio su quando ci troviamo di fronte ad un anello che non sia un D. I..
Pertanto ho cercato di costruirmi da solo questo esempio ma rimangono perplessità sopratutto su come lavora la definizione, cioè quando si dice che $(a,s) -= (b,t)$ $=>$ $EE u in S$ $:$ $u(at-bs) = 0$. Per esempio di che tipo di $0$ stiamo parlando? E' uno zero divisore ovvero lo $0$ classico?
Con l'esempio forse mi spiego meglio (scusate in anticipo se posso dire cose non corrette ma appunto ancora la situazione non mi è chiara).
Supponiamo sia $A$ non un D.I. cioè prendiamo $A = Z/(10Z)$ (anello quoziente), dalla definizione sappiamo che $S sube A$ e $S$ deve essere una parte moltiplicativa di $A$, prendiamo $S = A/(5Z)$.

Gli elementi di $A$ sono ${\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4, \bar 5, \bar 6, \bar 7, \bar 8, \bar 9}$, mentre gli elementi di $S$ sono ${\bar 0, \bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4}$.
e quindi ne deduco che gli elementi di $S^-1A$ sono le frazioni tra elementi di $A$ ed elementi di $S$ tipo ${\bar 3/\bar 2,\bar 5/bar 3, \bar 6/\bar 4, \bar 7/\bar 3, \bar 8/\bar 3, \bar 9/\bar 4}$ (attenzione a non confondere S^-1A con A/S nel secondo caso si intende elementi di $A$ meno quelli di $S$, nel primo le vere e proprie frazioni), a questo punto mi sorgono delle domande:
1) quali sono gli elementi di $S^-1A$ che soddisfano la definizione?
Se per esempio fosse che $(7,3)-=(6,4)$ $=>$ $EE u in S$ $:$ $u*(28-10) = 0$ in $Z/(10Z)$ in questo caso sarebbe $u = 1$.
Ma non ne sono sicuro.
2) $\bar 0$ appartiene a $S$?

3) $\bar 5$ di $A$ è un ideale quindi non è invertibile, allora tutti gli elementi $a in A$ $:$ $a notin 5Z$ sono invertibili , sia per esempio $\bar 7/\bar 3$ il suo inverso è $\bar 3/\bar 7$ ma $7 notin 5Z$, come lo spiego o meglio dove sto sbagliando?

Grazie

Emanuele