Anelli, campi e classi di resto
Ciao a tutti, non riesco a risolvere l'esercizio che sto per proporvi.
Per ogni numero naturale $n>1$ poniamo $bbbZ_n={0,1,...,n-1}$; definiamo su $bbbZ_n$ due operazioni $oplus$ e $odot$ nel modo seguente
$forall a,b in bbbZ_n$
$a oplus b =$ il resto di $(a+b)/n$
$a odot b =$ il resto di $(ab)/n$
(1) Dimostrare che $forall n>1$ $(bbbZ_n, oplus, odot)$ è un anello commutativo unitario con $1ne0$.
(2) Dimostrare che $(bbbZ_n, oplus, odot)$ è un campo se e solo se $n$ è un numero primo.
La prima parte non mi crea grossi problemi e la risolvo verificando che l'insieme dotato delle due operazioni verifica le proprietà di un anello; inoltre se prendo ad esempio $bbbZ_6$ e completo le tabelle delle due operazioni osservo che ogni termine compare una sola volta su ogni riga e colonna, segno del fatto che tutto quadra.
Non so però come procedere con la seconda parte, idee?!
Per ogni numero naturale $n>1$ poniamo $bbbZ_n={0,1,...,n-1}$; definiamo su $bbbZ_n$ due operazioni $oplus$ e $odot$ nel modo seguente
$forall a,b in bbbZ_n$
$a oplus b =$ il resto di $(a+b)/n$
$a odot b =$ il resto di $(ab)/n$
(1) Dimostrare che $forall n>1$ $(bbbZ_n, oplus, odot)$ è un anello commutativo unitario con $1ne0$.
(2) Dimostrare che $(bbbZ_n, oplus, odot)$ è un campo se e solo se $n$ è un numero primo.
La prima parte non mi crea grossi problemi e la risolvo verificando che l'insieme dotato delle due operazioni verifica le proprietà di un anello; inoltre se prendo ad esempio $bbbZ_6$ e completo le tabelle delle due operazioni osservo che ogni termine compare una sola volta su ogni riga e colonna, segno del fatto che tutto quadra.
Non so però come procedere con la seconda parte, idee?!
Risposte
Sposto in Algebra, attenzione alla sezione la prossima volta.
Grazie per la collaborazione.
Grazie per la collaborazione.
Se non sbaglio un campo $(C,+,*)$ è un anello commutativo unitario in cui $AA[a]_n in C , EE[x]_n in C | [a]_n[x]_n=[1]_n$.
Forse si può partire da questo...
Forse si può partire da questo...
"marco.bre":
(2) Dimostrare che $(bbbZ_n, oplus, odot)$ è un campo se e solo se $n$ è un numero primo.
Quali sono le tue conoscenze? Tieni presente questo suggerimento: se $n$ è primo allora $(bbbZ_n, oplus, odot)$ è $GF(n)$
Rggb cosa indica la notazione $GF(n)$?
Mi sa che sta per il Galois Field di ordine $n$ e cioè, semplicemente, l'unico (a meno di isomorfismi) campo finito con $n$ elementi (sottolineo, come fatto da rggb, $n$ primo).
http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_fie ... sification
[ Anche con $GF(p^n)$ usando la convenzione $p$ primo $n>=1$ intero; qualcuno usa anche $F_p^n$ ]
EDIT: Overlap con Paolo90
[ Anche con $GF(p^n)$ usando la convenzione $p$ primo $n>=1$ intero; qualcuno usa anche $F_p^n$ ]
EDIT: Overlap con Paolo90
Grazie per la risposta.
Per quanto mi riguarda non conosco quell'argomento, quindi non saprei proprio come usarlo.
Invece si potrebbe partire da quanto ho indicato prima, e sapendo anche che l'applicazione
$ZZ -> ZZ_n$
$m |-> [m]_n$
è un morfismo di anelli?
Per quanto mi riguarda non conosco quell'argomento, quindi non saprei proprio come usarlo.
Invece si potrebbe partire da quanto ho indicato prima, e sapendo anche che l'applicazione
$ZZ -> ZZ_n$
$m |-> [m]_n$
è un morfismo di anelli?
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