Anelli artiniani

[LollyMate]

Nella dimostrazione del teorema di struttura per anelli artiniani vengono considerati gli ideali massimali coprimi tra loro. Ora, in un anello artiniano ogni ideale primo è massimale, ma non riesco a capire perché gli ideali massimali (in un anello artiniano) sono coprimi tra loro.

[j18eos]

Casomai sono a coppie coprimi!

[Steven11]

Puoi mettere un link con un riferimento alla dimostrazione?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Due ideali massimali distinti sono sempre coprimi. Se [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] sono due ideali massimali distinti dell'anello commutativo unitario [tex]A[/tex] allora [tex]I+J[/tex] è un ideale di [tex]A[/tex] che contiene [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] propriamente; siccome [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] sono massimali si deve avere [tex]I+J=A[/tex], in altre parole [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] sono coprimi (due ideali si dicono coprimi se la loro somma è l'intero anello).