Ancora sui gruppi ciclici: Teorema di Lagrange
Mi ritrovo questa affermazione tra gli appunti presi durante un'esercitazione:
...poichè $6|12=|U(ZZ_{28})|$, sicuramente $ZZ_{28}$ contiene un elemento di periodo $6$...
Ora io so che, per Lagrange, se $G$ è un gruppo finito, ogni suo elemento è periodico e il suo ordine divide $|G|$. Non mi pare che questo voglia dire che $\forall n$ tale che $n|\ |G|$ esiste $H\le G$ tale che $|H|=n$, e nemmeno che $\forall n$ che divide $|G|$ esiste $g$ tale che $o(g)=n$ (il che equivale a dire che $\exists H=\le G$ tale che $|H|=n$).
So che questo è vero se $G$ è ciclico, che però non è il caso di $G=(U(ZZ_{28}),\cdot)$.
Cosa mi sono perso?
EDIT: Nota. L'esercitatore non era un Prof, bensì una ragazza del primo anno della specialistica, molto brava a mio parere, che però ha essa stessa ammesso di non aver "freschissimi" in mente questi argomenti. Non vorrei si trattasse di un suo errore ché sta cosa qui non riesco a trovarla da nessuna parte 
...poichè $6|12=|U(ZZ_{28})|$, sicuramente $ZZ_{28}$ contiene un elemento di periodo $6$...
Ora io so che, per Lagrange, se $G$ è un gruppo finito, ogni suo elemento è periodico e il suo ordine divide $|G|$. Non mi pare che questo voglia dire che $\forall n$ tale che $n|\ |G|$ esiste $H\le G$ tale che $|H|=n$, e nemmeno che $\forall n$ che divide $|G|$ esiste $g$ tale che $o(g)=n$ (il che equivale a dire che $\exists H=
So che questo è vero se $G$ è ciclico, che però non è il caso di $G=(U(ZZ_{28}),\cdot)$.
Cosa mi sono perso?
EDIT: Nota. L'esercitatore non era un Prof, bensì una ragazza del primo anno della specialistica, molto brava a mio parere, che però ha essa stessa ammesso di non aver "freschissimi" in mente questi argomenti. Non vorrei si trattasse di un suo errore
ché sta cosa qui non riesco a trovarla da nessuna parte
Risposte
Tu non ti sei perso nulla!
In seguito, vedrai che puoi solo affermare che \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) ha sicuramente almeno un elemento di periodo \(3\) ed almeno un elemento di periodo \(4\); aggiungo un esempio di gruppo di ordine \(12\) privo di un sottogruppo di ordine \(6\): il gruppo \(\mathrm{Alt}4\) delle permutazioni pari di un insieme di \(4\) elementi.
Al momento non ricordo se \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) è un gruppo ciclico per cui vale quanto ha detto lei!
In seguito, vedrai che puoi solo affermare che \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) ha sicuramente almeno un elemento di periodo \(3\) ed almeno un elemento di periodo \(4\); aggiungo un esempio di gruppo di ordine \(12\) privo di un sottogruppo di ordine \(6\): il gruppo \(\mathrm{Alt}4\) delle permutazioni pari di un insieme di \(4\) elementi.
Al momento non ricordo se \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) è un gruppo ciclico per cui vale quanto ha detto lei!
"Plepp":
Mi ritrovo questa affermazione tra gli appunti presi durante un'esercitazione:
...poichè $6|12=|U(ZZ_{28})|$, sicuramente $ZZ_{28}$ contiene un elemento di periodo $6$...
Mi sembra falso in $ZZ_{28}$. Se fosse vero $EE a \in ZZ $ tale che $6a-=1(mod28)$ ma ciò è impossibile in quanto $(6,28)!=1$. Forse volevi scrivere $U(ZZ_{28})$? In tal caso è vero, prova a trovare qualche esempio a mano.
Ad esempio $[3]_28$
Ora io so che, per Lagrange, se $G$ è un gruppo finito, ogni suo elemento è periodico e il suo ordine divide $|G|$. Non mi pare che questo voglia dire che $\forall n$ tale che $n|\ |G|$ esiste $H\le G$ tale che $|H|=n$, e nemmeno che $\forall n$ che divide $|G|$ esiste $g$ tale che $o(g)=n$ (il che equivale a dire che $\exists H=\le G$ tale che $|H|=n$).
So che questo è vero se $G$ è ciclico, che però non è il caso di $G=(U(ZZ_{28}),\cdot)$.
Cosa mi sono perso?
Penso tu abbia ragione, infatti il teorema di Lagrange ci da un criterio solo sufficiente ma non necessario. Non dice nulla circa l'esistenza di sottogruppi di un dato ordine!
EDIT : j mi ha preceduto! scusa j
Grazie Armando, stavo impazzendo 
PS. $\mathcal{U}(ZZ_{28})$ non può essere ciclico: se lo fosse, esisterebbe un elemento di periodo $28$. Tuttavia, per il Teorema di Eulero, se $a$ e $28$ sono coprimi,
\[a^{\varphi(28)}=a^{12}\equiv 1\mod 28\]
Poichè ogni rappresentante $a$ di ciascun elemento $[a]$ di $\mathcal{U}(ZZ_{28})$ è coprimo con $28$ (essendo $[a]$ invertibile), allora $[a]^{12}=[1]$ per ogni $[a]\in \mathcal{U}(ZZ_{28})$, il che equivale a dire che ciascun elemento ha periodo al più $12$
@Fra: sì intendevo $\mathcal{U}(ZZ_{28})$, ma non è questo il punto (sapevo anch'io che $[3]$ ha periodo $6$). Ciò su cui stavo a sindacare era quel "sicuramente".
PS. $\mathcal{U}(ZZ_{28})$ non può essere ciclico: se lo fosse, esisterebbe un elemento di periodo $28$. Tuttavia, per il Teorema di Eulero, se $a$ e $28$ sono coprimi,
\[a^{\varphi(28)}=a^{12}\equiv 1\mod 28\]
Poichè ogni rappresentante $a$ di ciascun elemento $[a]$ di $\mathcal{U}(ZZ_{28})$ è coprimo con $28$ (essendo $[a]$ invertibile), allora $[a]^{12}=[1]$ per ogni $[a]\in \mathcal{U}(ZZ_{28})$, il che equivale a dire che ciascun elemento ha periodo al più $12$
@Fra: sì intendevo $\mathcal{U}(ZZ_{28})$, ma non è questo il punto (sapevo anch'io che $[3]$ ha periodo $6$). Ciò su cui stavo a sindacare era quel "sicuramente".
@Kashaman Scusa di che? In cosa mi avresti offeso? Anzi, sei stato più chiaro di me! 
@Plepp Avrei potuto scriverti che \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) non è ciclico perché come... non proseguo!
Ho preferito astenermi piuttosto che farti sbagliare; comunque prego.
@Plepp Avrei potuto scriverti che \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) non è ciclico perché come... non proseguo!
Ho preferito astenermi piuttosto che farti sbagliare; comunque prego.
"j18eos":
@Plepp Avrei potuto scriverti che \(\mathscr{U}(\mathbb{Z}_{28})\) non è ciclico perché come... non proseguo!
Ho preferito astenermi piuttosto che farti sbagliare
Ahahah no non ho capito! xD Cosa intendi?
PS: ho detto una stronzata bella e buona
non è detto che $\mathcal{U}(ZZ_{28})$ NON sia ciclico. Quello che ci serviva era un elemento di periodo $12$, non $28$ E nessuno ci garantisce (a meno di verifiche dirette) che questo siffatto elemento non esiste.
Mi pare di esserci riuscito ora. Supponiamo per assurdo $A:=\mathcal{U}(ZZ_{28})$ non sia ciclico. Allora (questo è il passo cruciale, di cui non sono totalmente certo) questo equivale a dire che $\exists [a],\in A$ tali che $\notin <[a]>$. Questo è vero se e solo se per ogni $i\in ZZ$ si ha che
\[[a]^i\ne \tag{1}\]
Posto $[c] : =^{-1}$ si ha
\[(1)\iff [c][a]^i\ne [1]\]
il che equivale a dire che l'equazione
\[ca^i+28d=1\]
NON ammette soluzioni (le variabili sono $a^i$ e $d$), che è come dire che $\text{MCD}(28,c)$ non divide $1$, il che è assurdo poichè $[c]$ è invertibile e quindi $\text{MCD}(c,28)=1$.
Che dite?
\[[a]^i\ne \tag{1}\]
Posto $[c] : =^{-1}$ si ha
\[(1)\iff [c][a]^i\ne [1]\]
il che equivale a dire che l'equazione
\[ca^i+28d=1\]
NON ammette soluzioni (le variabili sono $a^i$ e $d$), che è come dire che $\text{MCD}(28,c)$ non divide $1$, il che è assurdo poichè $[c]$ è invertibile e quindi $\text{MCD}(c,28)=1$.
Che dite?
"Plepp":
Mi pare di esserci riuscito ora. Supponiamo per assurdo $A:=\mathcal{U}(ZZ_{28})$ non sia ciclico. Allora (questo è il passo cruciale, di cui non sono totalmente certo) questo equivale a dire che $\exists [a],\in A$ tali che $\notin <[a]>$. Questo è vero se e solo se per ogni $i\in ZZ$ si ha che
\[[a]^i\ne \tag{1}\]
Posto $[c] : =^{-1}$ si ha
\[(1)\iff [c][a]^i\ne [1]\]
il che equivale a dire che l'equazione
\[ca^i+28d=1\]
NON ammette soluzioni, che è come dire che $\text{MCD}(28,c)$ non divide $1$, il che è assurdo poichè $[c]$ è invertibile e quindi $\text{MCD}(c,28)=1$.
Che dite?
Non mi convince, dire che $[c][a^i]!=[1]$ equivale a dire semplicemente che $ca^i+28k!=1$.. non vuol dire che l'equazione non ammette soluzioni, sei d'accordo?
Mettiamola così. Siamo d'accordo che
\[[c][a]^i=[1]\iff \exists k\in \mathbb{Z}: ca^i+28k=1\]
Dunque
\[[c][a]^i\ne[1]\iff \forall k\in \mathbb{Z}: ca^i+28k\ne 1\]
Ma questo, lo sappiamo, è assurdo. Ti trovi? In effetti, mi sono espresso male (parecchio male ). Ciò che mi lascia perplesso, invece, è la prima equivalenza (*).
EDIT: (*) che infatti non è veritiera pensandoci meglio
\[[c][a]^i=[1]\iff \exists k\in \mathbb{Z}: ca^i+28k=1\]
Dunque
\[[c][a]^i\ne[1]\iff \forall k\in \mathbb{Z}: ca^i+28k\ne 1\]
Ma questo, lo sappiamo, è assurdo. Ti trovi? In effetti, mi sono espresso male (parecchio male
). Ciò che mi lascia perplesso, invece, è la prima equivalenza (*).EDIT: (*) che infatti non è veritiera pensandoci meglio
"Plepp":Onestamente non vedo dove tu veda quest'assurdo. Lo sarebbe se $c$ fosse inverso moltiplicativo di $a^i$, ma per ipotesi tu hai posto $[a]!=$ .quindi è naturale che $^-1[a^i]!=1$ e cioè $b^-1a^i +28k!=1$ (1)...la (1) non lede l'invertibilità di $b$.
Mettiamola così. Siamo d'accordo che
\[[c][a]^i=[1]\iff \exists k\in \mathbb{Z}: ca^i+28k=1\]
Dunque
\[[c][a]^i\ne[1]\iff \forall k\in \mathbb{Z}: ca^i+28k\ne 1\]
Ma questo, lo sappiamo, è assurdo. Ti trovi? In effetti, mi sono espresso male (parecchio male
EDIT: (*) che infatti non è veritiera pensandoci meglio
Ma il problema secondo me è un altro, a mio parere non si possono utilizzare i criteri utilizzati per le congruenze!
Perché non ci troviamo di fronte a congruenze NON lineari..
Perché non ci troviamo di fronte a congruenze NON lineari..
L'assurdo sta nel fatto che quella roba deve valere per ogni $i$ intero. Vabè lasciamo perdere, tanto comunque l'assurdo non c'è perché la prima equivalenza è falsa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo