Ancora sui gruppi

[.: Fix You :.1]

Ciao ragazzi.. ho un paio di quesiti ancora sui gruppi..

QUESITO 1
Sia $G={x in C | x^n=1}$ con $Cin$$CC-{0}$ e sia $H={x in G | X^4=1}
a) dimostrare che H è un sottogruppo normale (qui l'unico metodo che mi viene in mente è la verifica diretta)
b) calcolare l'ordine di $G//H$ (qui proprio non saprei come fare)

QUESITO 2
E' una domanda da rispondere vero o falso e dire il perchè ovviamente
Dato un gruppo $G$ finito con $|G|=p$, con $p$ numero primo, se $H$ è sottogruppo di $G$ allora $H$ è normale. (per me è vero perchè l'unico sottogruppo costruibile è proprio quello con $p$ elementi)

in attesa delle vostre risposte vi ringrazio in anticipo

[Lorenzo Pantieri]

".: Fix You :.":
QUESITO 1
Sia $G={x in C | x^n=1}$ con $Cin$$CC-{0}$ e sia $H={x in G | X^4=1}
a) dimostrare che H è un sottogruppo normale (qui l'unico metodo che mi viene in mente è la verifica diretta)
b) calcolare l'ordine di $G//H$ (qui proprio non saprei come fare)

$G$ è abeliano: tutti i suoi sottogruppi sono normali. Quanto all'ordine di $G/H$, è (sempre) l'ordine di $G$ fratto l'ordine di $H$.

".: Fix You :.":QUESITO 2
E' una domanda da rispondere vero o falso e dire il perchè ovviamente
Dato un gruppo $G$ finito con $|G|=p$, con $p$ numero primo, se $H$ è sottogruppo di $G$ allora $H$ è normale. (per me è vero perchè l'unico sottogruppo costruibile è proprio quello con $p$ elementi)

Un gruppo con $p$ elementi è isomorfo a $Z_p$. $Z_p$ è ciclico, quindi abeliano. Tesi.

Ciao,
L.

[.: Fix You :.1]

Grazie mille per la risposta..gentilissimo..buona giornata

[Chevtchenko]

Al secondo quesito si puo' rispondere piu' semplicemente cosi': se $G$ ha ordine $p$, e $H$ e' un sottogruppo di $G$, allora per il teorema di Lagrange $H = 1$ oppure $H = G$, e quindi $H$ e' normale in $G$.