Ancora sugli ideali
Devo dimostrare che $\bigcap_{p \in P} pZ = { 0 } = (0)$, dove $P$ è l'insieme di tutti i numeri primi positivi.
So che sicuramente $(0) \subseteq \bigcap pZ$ Infatti $0 = 0*p, \forall p \in P$.
Il viceversa non riesco a farlo. Ovvero devo mostrare che $\bigcap pZ \subseteq (0)$ ovvero preso un elemento $a \in \bigcap_{p \in P} pZ$ allora $a \in (0)$.
Se $a \in \bigcap pZ$ allora $a = \prod_{p_{i \in P}} p_{i}$ e quindi è diverso da zero... Come fa ad appartenere a $(0)$?
So che sicuramente $(0) \subseteq \bigcap pZ$ Infatti $0 = 0*p, \forall p \in P$.
Il viceversa non riesco a farlo. Ovvero devo mostrare che $\bigcap pZ \subseteq (0)$ ovvero preso un elemento $a \in \bigcap_{p \in P} pZ$ allora $a \in (0)$.
Se $a \in \bigcap pZ$ allora $a = \prod_{p_{i \in P}} p_{i}$ e quindi è diverso da zero... Come fa ad appartenere a $(0)$?
Risposte
Beh hai che se \( R \) è un anello commutativo allora \[ \operatorname{nil}(R) = \bigcap_{\substack{ \mathfrak{p} \subsetneq R \\ \mathfrak{p} \text{ ideale primo} }} \mathfrak{p} \]
dove \( \operatorname{nil}(R) = \{ r \in R : r^n = 0 \text{ per qualche } n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \} \) il nilradicale.
dove \( \operatorname{nil}(R) = \{ r \in R : r^n = 0 \text{ per qualche } n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \} \) il nilradicale.
@3m0o ma non serve usare risultati così sofisticati, nel caso di $ZZ$ la cosa è molto semplice: se un intero $n$ è divisibile per tutti i numeri primi allora $n=0$. Questo è conseguenza immediata del teorema fondamentale dell'aritmetica e del fatto che i numeri primi sono infiniti. Un intero non può essere prodotto di infiniti primi.
@Martino hai ragione, \( (n) \cap (m)\) è l'ideale che contiene tutti e solo gli elementi che sono divisibili sia per \(n\) che per \(m\). Solo che non ero sicuro questa proprietà valesse anche per un intersezione numerabile.
Ok, giusto per essere più chiaro: dire che l'intersezione dei $pZZ$ è nulla è equivalente a dire che se un numero intero è divisibile per tutti i numeri primi allora è zero. Questa frase è un enunciato di aritmetica elementare, è indipendente dalla teoria degli anelli.
L'aritmetica elementare mica è indipendente dalla teoria degli anelli, è vera in forza di quest'ultima...
Ma e quindi? Per enunciare il teorema dell'aritmetica e dimostrarlo mi serve la teoria degli anelli?
[ot]
"Martino":Non ho detto questo: tu ti ostini a una visione pedagogica del concetto: è sconsigliato dare al discente più nozioni di quelle che sono strettamente necessarie; io opero all'esatto contrario, e ho semplicemente detto che c'è una ragione profonda a giustificare (ad esempio) la verità del teorema fondamentale dell'aritmetica; che per apprezzare quest'ultimo la teoria degli anelli generale non serva è del tutto irrilevante a determinare qual è la natura del risultato -un risultato di teoria degli anelli- così come è completamente irrilevante che una mente troppo acerba non lo apprezzi: è normale, ma tornerà, tra dieci o vent'anni, a questa idea con più maturità.[/ot]
Ma e quindi? Per enunciare il teorema dell'aritmetica e dimostrarlo mi serve la teoria degli anelli?
Ma così non fai altro che evitare di dimostrare A dicendo "è un facile corollario di B" e poi non dimostrando B (perché lontano dall'interesse di chi voleva dimostrare A). Cioè continuando a richiamare risultati sofisticati ti allontani dalla vera maturità matematica, che è la capacità di scrivere dimostrazioni.
"Martino":
@3m0o ma non serve usare risultati così sofisticati, nel caso di $ZZ$ la cosa è molto semplice: se un intero $n$ è divisibile per tutti i numeri primi allora $n=0$. Questo è conseguenza immediata del teorema fondamentale dell'aritmetica e del fatto che i numeri primi sono infiniti. Un intero non può essere prodotto di infiniti primi.
Grazie
"Martino":Non solo la capacità di scriverle (cosa che tra l'altro è proprio la sofisticazione del modo di pensare ad aiutare a raggiungere, e che io sono in grado di fare); comunque non importa, quello che è falso è che il teorema fondamentale dell'aritmetica è indipendente dalla teoria degli anelli, se almeno su questo convieni, il resto è ot.
Ma così non fai altro che evitare di dimostrare A dicendo "è un facile corollario di B" e poi non dimostrando B (perché lontano dall'interesse di chi voleva dimostrare A). Cioè continuando a richiamare risultati sofisticati ti allontani dalla vera maturità matematica, che è la capacità di scrivere dimostrazioni.
Se a qualcuno interessasse vorrei aggiungere una riflessione.
Qual è il senso di fare un esercizio se non per imparare una determinata cosa? In particolare se studio la teoria degli anelli allora se mi ritrovo un esercizio legato a un certo soggetto cerco di trovare un ragionamento al interno della teoria che sto studiando, perché in fondo voglio sviluppare un intuito lì dentro e non in cose che già so! Non vi pare? Pertanto penso sia comunque utile risolvere le cose con metodi più sofisticati, che magari possono essere risolte con altri metodi, ma in fondo l'obbiettivo ultimo è un altro, e non è il saper risolvere l'esercizio in questione, bensì comprendere meglio un certo concetto di una certa teoria!
Poi vero, ho dato un risultato che è più generale. Ma che è totalmente inerente, e non mi sembra particolarmente sofisticato ad essere sinceri, io l'ho visto al secondo anno al corso di anelli e campi.
Quindi sebbene si possa risolvere tranquillamente in 3 righe, senza tirare in ballo risultati sofisticati. Magari se l'obbiettivo è quello imparare i concetti della teoria degli anelli, o parti di esse come gli ideali - cosa questa che suppongo dal titolo - può essere utile abituarsi ad utilizzarli questi concetti, anche se sono d'accordo possa risultare più complicato, però se fatto bene risulta secondo me più utile. Chiaro se si usa il risultato senza dimostrarlo allora sì, come dice Martino ci si allontana dalla vera maturità matematica, dipende tutto da come uno affronta una certa cosa! Questo risultato in particolare mi sembra alla portata di chi ha un minimo di conoscenze della teoria degli anelli! Ecco quindi una dimostrazione di quel teorema
Teorema: Il nilradicale \( \operatorname{nil}(R) \), i.e. l'insieme degli elementi nilpotenti, di un anello commutativo \(R\) è uguale al intersezione di tutti gli ideali primi di \(R\).
Dimostrazione:
Sia \(x \in \operatorname{nil}(R) \) e \( \mathfrak{p} \) un ideale primo di \(R\). Allora abbiamo che \( \overline{x} \in R/\mathfrak{p} \) è un elemento nilpotente. Siccome l'annello \( A/\mathfrak{p} \) è un dominio d'integrità, poiché \( \mathfrak{p} \) è primo, allora il suo nilradicale è ridotto a \(0\). Abbiamo dunque che \( \overline{x} = 0 \) e dunque \( x \in \mathfrak{p} \). Poiché \( \mathfrak{p} \) è un ideale primo qualunque allora \(x \) sta nel intersezione di tutti gli ideali primi.
Per l'altra inclusione, dimostriamo la contrapposta. Sia \(x\in R \) un elemento tale che \( x \not\in \operatorname{nil}(R) \), allora cerchiamo un ideale primo \( \mathfrak{p} \) tale che \(x \not\in \mathfrak{p} \) e questo implica che \( x \) non sta nemmeno nel intersezione di tutti gli ideali primi.
Poniamo dunque \(S= \{ x^n : n \geq 1 \} \) abbiamo che \( 0 \not\in S \).
Inoltre sia \( A = \{ I : I \text{ ideale di } R \text{ tale che } I \cap S = \emptyset \} \). Abbiamo che \(A\) non è vuoto poiché \( (0) \in A \). Inoltre sia \( (I_n)_{n \geq 1} \) una successione crescente (per l'inclusione) di ideali in \(A\), allora abbiamo \( \bigcup_{n \geq 1} I_n \) è ancora un ideale (per convincerti che è un ideale guarda il teorema di Krull) disgiunto da \(A \) che contiene tutti gli \(I_n\). Per il lemma di Zorn, esiste un ideale \( \mathfrak{p} \) che è massimale in questo insieme.
Dimostriamo che se \( \mathfrak{p} \) non è primo allora esistono \( a,b \in A - \mathfrak{p} \) tale che \(ab \in \mathfrak{p} \). Gli ideali \( \mathfrak{p} + (a) \) e \( \mathfrak{p}+(b) \) contengono \( \mathfrak{p} \) e per massimalità di quest'ultimo non stanno in \(A\). Pertanto esistono \(k, \ell \) tale che \( x^{k} \in \mathfrak{p}+ (a) \) e \( x^{\ell} \in \mathfrak{p}+(b) \). Da cui \( x^{k+\ell} \in ( \mathfrak{p} +(a)) (\mathfrak{p}+(b) ) \). Per doppia inclusione si può dimostrare che \( ( \mathfrak{p} +(a)) (\mathfrak{p}+(b) ) = \mathfrak{p}+(ab) \). Se \(ab \in \mathfrak{p} \) allora abbiamo che \( \mathfrak{p}+(ab) = \mathfrak{p} \) ma questo è assurdo poiché \( \mathfrak{p} \) è un elemento di \(A\) dunque non potremmo avere che \( x^{k + \ell} \in \mathfrak{p} \), pertanto \( ab \not\in \mathfrak{p} \). Abbiamo dunque dimostrato che per ogni \( x \not\in \operatorname{nil}(R) \) esiste un ideale primo \( \mathfrak{p} \) tale per cui \( x \not\in \mathfrak{p} \).
----------------------------------------------------------------------------------------------
Bene! Ora abbiamo dimostrato questo risultato! Conoscendo questo risultato possiamo dunque dire quanto segue:
Nel nostro caso, \(R=\mathbb{Z}\), attenzione però, abbiamo che essendo \( \mathbb{Z} \) un dominio d'integrità allora \((0)\) è un ideale primo di \(\mathbb{Z} \), quindi tecnicamente parlando non abbiamo l'intersezione su tutti gli ideali primi e quindi perché possiamo usare lo stesso risultato? A priori potremmo avere che \( \bigcap_{p} (p) \neq \operatorname{nil}(\mathbb{Z}) = (0) \).
Possiamo proprio per la ragione che diceva Martino, abbiamo infatti che se esiste \(x \neq 0 \) tale che risulta \( x \in (p)=p \mathbb{Z} \) per ogni numero primo \(p\), allora \(x\) sarebbe divisibile per ogni numero primo.
O se preferisci, nella dimostrazione il nostro insieme \(S\) in realtà dipende da \(x\), che abbiamo fissato, ora, siccome \(x\) è divisibile solo per un numero finito di numeri primi, allora esisterà un numero primo \(p\) che non divide \(x\) tale che non divide nemmeno \(x^n \) per ogni \( n \geq 1 \), pertanto per questo \(p \) abbiamo che che \( S \cap (p) = \emptyset \). Dunque l'elemento massimale di \(A\) non è \( (0)\). Di nuovo usiamo l'arbitrarietà di \(x \) per concludere.
Edit: l'ultima cosa che ho detto, dopo "O se preferisci" credo sia falsa scusa!
Qual è il senso di fare un esercizio se non per imparare una determinata cosa? In particolare se studio la teoria degli anelli allora se mi ritrovo un esercizio legato a un certo soggetto cerco di trovare un ragionamento al interno della teoria che sto studiando, perché in fondo voglio sviluppare un intuito lì dentro e non in cose che già so! Non vi pare? Pertanto penso sia comunque utile risolvere le cose con metodi più sofisticati, che magari possono essere risolte con altri metodi, ma in fondo l'obbiettivo ultimo è un altro, e non è il saper risolvere l'esercizio in questione, bensì comprendere meglio un certo concetto di una certa teoria!
Poi vero, ho dato un risultato che è più generale. Ma che è totalmente inerente, e non mi sembra particolarmente sofisticato ad essere sinceri, io l'ho visto al secondo anno al corso di anelli e campi.
Quindi sebbene si possa risolvere tranquillamente in 3 righe, senza tirare in ballo risultati sofisticati. Magari se l'obbiettivo è quello imparare i concetti della teoria degli anelli, o parti di esse come gli ideali - cosa questa che suppongo dal titolo - può essere utile abituarsi ad utilizzarli questi concetti, anche se sono d'accordo possa risultare più complicato, però se fatto bene risulta secondo me più utile. Chiaro se si usa il risultato senza dimostrarlo allora sì, come dice Martino ci si allontana dalla vera maturità matematica, dipende tutto da come uno affronta una certa cosa! Questo risultato in particolare mi sembra alla portata di chi ha un minimo di conoscenze della teoria degli anelli! Ecco quindi una dimostrazione di quel teorema
Teorema: Il nilradicale \( \operatorname{nil}(R) \), i.e. l'insieme degli elementi nilpotenti, di un anello commutativo \(R\) è uguale al intersezione di tutti gli ideali primi di \(R\).
Dimostrazione:
Sia \(x \in \operatorname{nil}(R) \) e \( \mathfrak{p} \) un ideale primo di \(R\). Allora abbiamo che \( \overline{x} \in R/\mathfrak{p} \) è un elemento nilpotente. Siccome l'annello \( A/\mathfrak{p} \) è un dominio d'integrità, poiché \( \mathfrak{p} \) è primo, allora il suo nilradicale è ridotto a \(0\). Abbiamo dunque che \( \overline{x} = 0 \) e dunque \( x \in \mathfrak{p} \). Poiché \( \mathfrak{p} \) è un ideale primo qualunque allora \(x \) sta nel intersezione di tutti gli ideali primi.
Per l'altra inclusione, dimostriamo la contrapposta. Sia \(x\in R \) un elemento tale che \( x \not\in \operatorname{nil}(R) \), allora cerchiamo un ideale primo \( \mathfrak{p} \) tale che \(x \not\in \mathfrak{p} \) e questo implica che \( x \) non sta nemmeno nel intersezione di tutti gli ideali primi.
Poniamo dunque \(S= \{ x^n : n \geq 1 \} \) abbiamo che \( 0 \not\in S \).
Inoltre sia \( A = \{ I : I \text{ ideale di } R \text{ tale che } I \cap S = \emptyset \} \). Abbiamo che \(A\) non è vuoto poiché \( (0) \in A \). Inoltre sia \( (I_n)_{n \geq 1} \) una successione crescente (per l'inclusione) di ideali in \(A\), allora abbiamo \( \bigcup_{n \geq 1} I_n \) è ancora un ideale (per convincerti che è un ideale guarda il teorema di Krull) disgiunto da \(A \) che contiene tutti gli \(I_n\). Per il lemma di Zorn, esiste un ideale \( \mathfrak{p} \) che è massimale in questo insieme.
Dimostriamo che se \( \mathfrak{p} \) non è primo allora esistono \( a,b \in A - \mathfrak{p} \) tale che \(ab \in \mathfrak{p} \). Gli ideali \( \mathfrak{p} + (a) \) e \( \mathfrak{p}+(b) \) contengono \( \mathfrak{p} \) e per massimalità di quest'ultimo non stanno in \(A\). Pertanto esistono \(k, \ell \) tale che \( x^{k} \in \mathfrak{p}+ (a) \) e \( x^{\ell} \in \mathfrak{p}+(b) \). Da cui \( x^{k+\ell} \in ( \mathfrak{p} +(a)) (\mathfrak{p}+(b) ) \). Per doppia inclusione si può dimostrare che \( ( \mathfrak{p} +(a)) (\mathfrak{p}+(b) ) = \mathfrak{p}+(ab) \). Se \(ab \in \mathfrak{p} \) allora abbiamo che \( \mathfrak{p}+(ab) = \mathfrak{p} \) ma questo è assurdo poiché \( \mathfrak{p} \) è un elemento di \(A\) dunque non potremmo avere che \( x^{k + \ell} \in \mathfrak{p} \), pertanto \( ab \not\in \mathfrak{p} \). Abbiamo dunque dimostrato che per ogni \( x \not\in \operatorname{nil}(R) \) esiste un ideale primo \( \mathfrak{p} \) tale per cui \( x \not\in \mathfrak{p} \).
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Bene! Ora abbiamo dimostrato questo risultato! Conoscendo questo risultato possiamo dunque dire quanto segue:
Nel nostro caso, \(R=\mathbb{Z}\), attenzione però, abbiamo che essendo \( \mathbb{Z} \) un dominio d'integrità allora \((0)\) è un ideale primo di \(\mathbb{Z} \), quindi tecnicamente parlando non abbiamo l'intersezione su tutti gli ideali primi e quindi perché possiamo usare lo stesso risultato? A priori potremmo avere che \( \bigcap_{p} (p) \neq \operatorname{nil}(\mathbb{Z}) = (0) \).
Possiamo proprio per la ragione che diceva Martino, abbiamo infatti che se esiste \(x \neq 0 \) tale che risulta \( x \in (p)=p \mathbb{Z} \) per ogni numero primo \(p\), allora \(x\) sarebbe divisibile per ogni numero primo.
O se preferisci, nella dimostrazione il nostro insieme \(S\) in realtà dipende da \(x\), che abbiamo fissato, ora, siccome \(x\) è divisibile solo per un numero finito di numeri primi, allora esisterà un numero primo \(p\) che non divide \(x\) tale che non divide nemmeno \(x^n \) per ogni \( n \geq 1 \), pertanto per questo \(p \) abbiamo che che \( S \cap (p) = \emptyset \). Dunque l'elemento massimale di \(A\) non è \( (0)\). Di nuovo usiamo l'arbitrarietà di \(x \) per concludere.
Edit: l'ultima cosa che ho detto, dopo "O se preferisci" credo sia falsa scusa!
(cosa che tra l'altro è proprio la sofisticazione del modo di pensare ad aiutare a raggiungere, e che io sono in grado di fare)Ma io mica mi riferisco a te, parlo della maturità matematica di chi ha fatto la domanda. Quello che sto dicendo è che se uno chiede "come si dimostra A?" gli si deve rispondere prima di tutto dimostrando (o aiutando a dimostrare) A, e poi semmai aggiungere dettagli su generalizzazioni, in questo caso il fatto che l'intersezione degli ideali primi è uguale all'insieme degli elementi nilpotenti.
Altrimenti il dialogo è del tipo (faccio un esempio con un argomento diverso) "perché la funzione seno è continua?" risposta "beh perché è un diffeomorfismo liscio tra le varietà differenziabili reali uno-dimensionali dotati dell'atlante $C^(oo)$ generato dalla topologia euclidea". Capite? Sì ok tutto quello che volete, ma a uno che chiede perché la funzione seno è continua forse andava spiegato perché la funzione seno era continua.
(Avete mai dato un corso di Calcolo 1 / Analisi 1 ?)
Tornando al nostro caso, "perché l'intersezione dei $pZZ$ è nulla?" risposta "beh perché l'intersezione degli ideali primi di un anello è uguale al nilradicale" oppure "beh perché in un anello Noetheriano ogni ideale ha una decomposizione primaria finita, che poi in un dominio di Dedekind è pure unica". Non vi sembra che questa non possa proprio essere la prima risposta da dare? E' una generalizzazione che semmai viene dopo aver spiegato, o aiutato a capire, la cosa elementare chiesta. Per lo stesso motivo alle elementari vengono introdotti i numeri e non le strutture algebriche in prima elementare.
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