Ancora Sottogruppi ...
Ciao a tutti ho due esercizi e due dubbi.
Primo esercizio: Ricordando le proprietà che caratterizzano i sottogruppi determinare tutti i sottogruppi del gruppo $(U_12, *)$
Risposta:Allora io so che nel gruppo $U_12$ ci sono gli invertibili, ovvero tutti quegli elementi che sono coprimi con il modulo 12. So che $U_12$ è composto da quattro elementi, grazie ad Eulero, e più precisamente $U_12 = {bar1, bar5, bar7, bar11}$. So che affinchè un sottogruppo S possa essere chiamato tale deve avere l'elemento neutro, l'inverso e l'operazione deve essere chiusa in S. Detto ciò ho problemi a trovare i sottogruppi.
Chi mi da una mano?
Secondo esercizio: Considerato il gruppo $G = (ZZ_3762, +)$ ricordare la condizione per cui una classe $bara in G$ appartenga al gruppo $G^1 = (U_3762, *)$. Dire quali fra i seguenti elementi appartengono a $G^1$: $bar95, bar1847, bar4, bar1859$. Determinare, quando possibile, l'inverso.
Risposta: Allora affinchè $a in G$ appartenga a $G1 = (U_3762, *)$, a deve essere coprimo con 3762. Detto questo secondo me l'unico elemento che appartiene a $G^1$ è $bar1847$. Giusto o sbagliato? Poi per trovare l'inverso devo trovare prima il numero degli elementi di $U_3762$ (cosa che non riesco a fare) e poi tramite la formula: y = x^(numero elementi di U) - 1 mod 3762 trovo l'inverso. Giusto?
Chiedo una manona d'aiuto.
Primo esercizio: Ricordando le proprietà che caratterizzano i sottogruppi determinare tutti i sottogruppi del gruppo $(U_12, *)$
Risposta:Allora io so che nel gruppo $U_12$ ci sono gli invertibili, ovvero tutti quegli elementi che sono coprimi con il modulo 12. So che $U_12$ è composto da quattro elementi, grazie ad Eulero, e più precisamente $U_12 = {bar1, bar5, bar7, bar11}$. So che affinchè un sottogruppo S possa essere chiamato tale deve avere l'elemento neutro, l'inverso e l'operazione deve essere chiusa in S. Detto ciò ho problemi a trovare i sottogruppi.
Chi mi da una mano?Secondo esercizio: Considerato il gruppo $G = (ZZ_3762, +)$ ricordare la condizione per cui una classe $bara in G$ appartenga al gruppo $G^1 = (U_3762, *)$. Dire quali fra i seguenti elementi appartengono a $G^1$: $bar95, bar1847, bar4, bar1859$. Determinare, quando possibile, l'inverso.
Risposta: Allora affinchè $a in G$ appartenga a $G1 = (U_3762, *)$, a deve essere coprimo con 3762. Detto questo secondo me l'unico elemento che appartiene a $G^1$ è $bar1847$. Giusto o sbagliato? Poi per trovare l'inverso devo trovare prima il numero degli elementi di $U_3762$ (cosa che non riesco a fare) e poi tramite la formula: y = x^(numero elementi di U) - 1 mod 3762 trovo l'inverso. Giusto?
Chiedo una manona d'aiuto.
Risposte
"Jack Durden":
Secondo esercizio: Considerato il gruppo $G = (ZZ_3762, +)$ ricordare la condizione per cui una classe $bara in G$ appartenga al gruppo $G^1 = (U_3762, *)$. Dire quali fra i seguenti elementi appartengono a $G^1$: $bar95, bar1847, bar4, bar1859$. Determinare, quando possibile, l'inverso.
Risposta: Allora affinchè $a in G$ appartenga a $G1 = (U_3762, *)$, a deve essere coprimo con 3762. Detto questo secondo me l'unico elemento che appartiene a $G^1$ è $bar1847$. Giusto o sbagliato?
Giusto
Poi per trovare l'inverso devo trovare prima il numero degli elementi di $U_3762$ (cosa che non riesco a fare) e poi tramite la formula: y = x^(numero elementi di U) - 1 mod 3762 trovo l'inverso. Giusto?
Chiedo una manona d'aiuto.
Per trovare il numero di elementi devi calcolare il quanti sono i coprimi con 3762 (<3672), quindi usi Eulero. Per trovare l'inverso di x fai $x^(phi(3762)-1) mod3762$
allora per quanto riguarda il primo esercizio io farei così: indico con $$ il sottogruppo generato dall'elemento $a$.
adesso:
$<5>$$={1,5}$ $<7>$$={1,7}$ $<11>$$={1,11}$ e osserva che $5*7=35=11$ mod $12$ quindi $U_{12}$ è isomorfo al gruppo di Klein.
per il secondo è giusto quanto hai detto cioè+ l'unico ad essere invertibile è $1847$ e per calcolare l'inverso utilizziamo il teorema di eulero e quindi visto che per tale teorema:
$1847^{phi(3762)}=1$ mod $(3762)$ segue che $1847^{-1}=1847^{phi(3762)-1}=1847^{1080-1}=1847^{1079}$
ciao e a presto
adesso:
$<5>$$={1,5}$ $<7>$$={1,7}$ $<11>$$={1,11}$ e osserva che $5*7=35=11$ mod $12$ quindi $U_{12}$ è isomorfo al gruppo di Klein.
per il secondo è giusto quanto hai detto cioè+ l'unico ad essere invertibile è $1847$ e per calcolare l'inverso utilizziamo il teorema di eulero e quindi visto che per tale teorema:
$1847^{phi(3762)}=1$ mod $(3762)$ segue che $1847^{-1}=1847^{phi(3762)-1}=1847^{1080-1}=1847^{1079}$
ciao e a presto
a me risulta $phi(3762)=1080$
scusa ma $3762=2*3^2*11*19$ allora $phi(3762)=phi(2)*phi(3^2)*phi(11)*phi(19)=1*4*10*18=720$ giusto???
sbaglio qlcs???
sbaglio qlcs???
ora so che la mia voce non conta moltissimo ... 
... ma anche a me esce 1080 ... è 1 * 6 * 10 * 18
... ma anche a me esce 1080 ... è 1 * 6 * 10 * 18
$phi(9)=6$
giusto che ca****ta... $phi(p^h)=p^h-p^{h-1}$
perfettamente ragione correggo
perfettamente ragione correggo
Scusate se mi intrometto. Per quanto riguarda il primo esercizio, non basterebbe anche dire che siccome $U_12$ è un gruppo con un numero pari di elementi allora ha un numero dispari di sottogruppi di ordine 2? Poi non capisco quando si deve applicare il teorema di Lagrange per sapere che "tipo" di sottogruppi ho. Grazie.
manugal e come si dimostra che un gruppo di ordine pari ha un numero dispari di elementi di ordine $2$??????
Ah boh 
Come hai fatto tu?
Come hai fatto tu?
beh io non l ho mica dimostrato quello era un esempio...
ma comunque si può dimostrare così:
se $|G|=2n$ allora sia $H$ l'insieme degli elementi di $G$ che coincidono con il proprio inverso ovvero gli elementi di ordine $2$
e $K$ l'insieme degli elementi di $G$ che sono diversi dal proprio inverso.
bene adesso si ha che $G={id}uuHuuK$
se $K=\emptyset$ allora $H$ ha cardinalità dispari ovviamente
se $K!=\emptyset$ allora gli elementi di $K$ li posso accoppiare, ognuno con il proprio inverso e quindi $|K|=2k$
allora $|H|=2(n-k)-1$
che è la tesi.
ma comunque si può dimostrare così:
se $|G|=2n$ allora sia $H$ l'insieme degli elementi di $G$ che coincidono con il proprio inverso ovvero gli elementi di ordine $2$
e $K$ l'insieme degli elementi di $G$ che sono diversi dal proprio inverso.
bene adesso si ha che $G={id}uuHuuK$
se $K=\emptyset$ allora $H$ ha cardinalità dispari ovviamente
se $K!=\emptyset$ allora gli elementi di $K$ li posso accoppiare, ognuno con il proprio inverso e quindi $|K|=2k$
allora $|H|=2(n-k)-1$
che è la tesi.
Si, ma forse non mi sono spiegato. Io non volevo sapere la dimostrazione; volevo solo sapere se per fare quell'esercizio potevo affermare che questo gruppo di ordine pari ha un numero dispari di elementi di ordine 2 (e naturalmente poi trovarli).
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