Ancora permutazioni
Ciao a tutti,
vi propongo testo e soluzione di un esercizio sulle permutazioni per avere qualche spiegazione.
Nel gruppo S9 si considerino le permutazioni
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 2 3 8 5 6 1 7 4
b=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 6 5 9 3 2 4 8 7
Si scrivano a e b come prodotti di cicli disgiunti e si dica se sono pari o dispari.
Si calcolino gli ordini di a,b e (a°b) ^-45
Soluzione
a=(1 9 4 8 7), b=(2 6)(3 5)(4 9 7)
Da ciò segue che sono entrambe pari
a=(1 7)(1 8)(1 4)(1 9), b=(2 6)(3 5)(4 7)(4 9)
come ha fatto a scomporre tutto in coppie?
Inoltre o(a)=5, o(b)=mcm(2 2 3)=6
come si trova l'ordine?
Si ha poi a°b=(2 6)(3 5)(4 9 7) (1 9 4 8 7)=(1 7)(2 6)(3 5)(4 8)
che ha ordine 2;
perciò (a°b)^-45=a°b ha ordine 2
come si calcolano le composizioni e gli ordini che ha trovato?
Ringrazio in anticipo chi mi potrà aiutare.
Ciao
vi propongo testo e soluzione di un esercizio sulle permutazioni per avere qualche spiegazione.
Nel gruppo S9 si considerino le permutazioni
a=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 2 3 8 5 6 1 7 4
b=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 6 5 9 3 2 4 8 7
Si scrivano a e b come prodotti di cicli disgiunti e si dica se sono pari o dispari.
Si calcolino gli ordini di a,b e (a°b) ^-45
Soluzione
a=(1 9 4 8 7), b=(2 6)(3 5)(4 9 7)
Da ciò segue che sono entrambe pari
a=(1 7)(1 8)(1 4)(1 9), b=(2 6)(3 5)(4 7)(4 9)
come ha fatto a scomporre tutto in coppie?
Inoltre o(a)=5, o(b)=mcm(2 2 3)=6
come si trova l'ordine?
Si ha poi a°b=(2 6)(3 5)(4 9 7) (1 9 4 8 7)=(1 7)(2 6)(3 5)(4 8)
che ha ordine 2;
perciò (a°b)^-45=a°b ha ordine 2
come si calcolano le composizioni e gli ordini che ha trovato?
Ringrazio in anticipo chi mi potrà aiutare.
Ciao
Risposte
Fai attenzione: devi utilizzare i codici per scrivere le formule.
Per prima cosa sei pregato di usare le formule o latex (attraverso il tasto TeX).
1) Il provedimento è automatico una volta che l'hai imparanto $(a,b,c,d,e...n) = (a,n)...(a,e)(a,d)(a,c)(a,b)$ (purché l'operazione sia da destra a sinistra come di solito si suppone).
2) Hai la formula scritta lì... Non vedo che problema c'é nel capire che una permutazione scomposta in cicli disgiunti ha come ordine il minimo comune multiplo delle lunghezze dei suoi cicli.
3) Per prima cosa ha fatto il prodotto per cicli, poi calcola l'ordine del prodotto, infine si trova qual'é la mimima potenza di ab che equivale a $ab^{-45}$ e si calcola il suo ordine come se fossimo in $ZZ_n$. Ma mi sa che il problema è che non hai capito come funziona la storia dei cicli
1) Il provedimento è automatico una volta che l'hai imparanto $(a,b,c,d,e...n) = (a,n)...(a,e)(a,d)(a,c)(a,b)$ (purché l'operazione sia da destra a sinistra come di solito si suppone).
2) Hai la formula scritta lì... Non vedo che problema c'é nel capire che una permutazione scomposta in cicli disgiunti ha come ordine il minimo comune multiplo delle lunghezze dei suoi cicli.
3) Per prima cosa ha fatto il prodotto per cicli, poi calcola l'ordine del prodotto, infine si trova qual'é la mimima potenza di ab che equivale a $ab^{-45}$ e si calcola il suo ordine come se fossimo in $ZZ_n$. Ma mi sa che il problema è che non hai capito come funziona la storia dei cicli
Mi scuso per non aver usato le formule.
comunque, vict85, dalla risposta che mi hai dato non ci ho capito molto
grazie lo stesso
comunque, vict85, dalla risposta che mi hai dato non ci ho capito molto
grazie lo stesso
Spero di aver capito la tua notazione: dal tuo esercizio [tex]$(1\,9\,4\,8\,7)$[/tex] manda l'[tex]$1$[/tex] in [tex]$9$[/tex] per cui si considera il ciclo [tex]$(1\,9)$[/tex], il [tex]$9$[/tex] viene mandato nel [tex]$4$[/tex] per cui di considera il ciclo [tex]$(1\,4)$[/tex] sicché risulta [tex]$(1\,4)\circ(1\,9)=(1\,9\,4)$[/tex]. Poiché il [tex]$4$[/tex] viene mandato in [tex]$8$[/tex] e quindi si considera il ciclo [tex]$(1\,8)$[/tex] sicché risulta [tex]$(1\,8)\circ(1\,4)\circ(1\,9)=(1\,8)\circ(1\,9\,4)=(1\,9\,4\,8)$[/tex], e.o.!
mmmmmhhhh!
fino alla scomposizione in coppie e alla ricerca dell'ordine ci sono arrivato ma non su come abbia calcolato le composizioni e i successivi ordini
fino alla scomposizione in coppie e alla ricerca dell'ordine ci sono arrivato ma non su come abbia calcolato le composizioni e i successivi ordini
Ad esempio: [tex]$a\circ b(1)=b(a(1))=b(9)=7$[/tex], poi [tex]$a\circ b(7)=b(a(7))=b(1)=1$[/tex]!
bene, ora ci sono con la composizione, mi manca da capiire come deve essere effettuato il calcolo della potenza
[tex]{b\circ a }^{-45}[/tex]
grazie
[tex]{b\circ a }^{-45}[/tex]
grazie
Se non ho sbagliato i calcoli la permutazione $b \circ a =(26)(35)(17)(48)$ ha pertanto periodo...?
A quel punto calcolare $(b \circ a)^(-45)$ non è un problema, perchè sai che $(b \circ a)^2=id$, quindi sfruttando le congruenze si ha $(b \circ a)^(-45) \equiv (b \circ a)^(-1) \equiv (b \circ a)$
A quel punto calcolare $(b \circ a)^(-45)$ non è un problema, perchè sai che $(b \circ a)^2=id$, quindi sfruttando le congruenze si ha $(b \circ a)^(-45) \equiv (b \circ a)^(-1) \equiv (b \circ a)$
ma scusa, ancora sulla composizione, io ottengo i tuoi risultati se faccio
[tex]a \circ b[/tex].
ma con [tex]b \circ a[/tex], come chiede il testo, ciò che ottengo è completamente diverso
dove sbaglio?
[tex]a \circ b[/tex].
ma con [tex]b \circ a[/tex], come chiede il testo, ciò che ottengo è completamente diverso
dove sbaglio?
Forse abbiamo un modo di comporre opposto (io parto da destra verso sinistra)... forse ho solo sbagliato i calcoli, li ho fatti a mente e in fretta, ma il procedimento è quello che volevo mostrarti!
i tuoi calcoli sono giusti, sono io che faccio confusione; quando si fa [tex]a \circ b[/tex] si fa partire il ciclo da destra a sinistra, mentre per [tex]b \circ a[/tex] da sinistra verso destra
grazie a tutti per l'aiuto
grazie a tutti per l'aiuto
Si di solito per quanto riguarda le permutazioni si fa un discorso diverso dalle funzioni, cioè:
$f(x)@g(x)= f(g(x))$ ,cioè il dominio è quello di $g$ mentre il codominio è quello di $f$ (da destra a sinistra)
mentre per quanto riguarda le permutazioni $a@b=b(a)$ cioè si parte leggendo da sinistra a destra.
$f(x)@g(x)= f(g(x))$ ,cioè il dominio è quello di $g$ mentre il codominio è quello di $f$ (da destra a sinistra)
mentre per quanto riguarda le permutazioni $a@b=b(a)$ cioè si parte leggendo da sinistra a destra.
"Lorin":
Si di solito per quanto riguarda le permutazioni si fa un discorso diverso dalle funzioni, cioè:
$f(x)@g(x)= f(g(x))$ ,cioè il dominio è quello di $g$ mentre il codominio è quello di $f$ (da destra a sinistra)
mentre per quanto riguarda le permutazioni $a@b=b(a)$ cioè si parte leggendo da sinistra a destra.
Sulle permutazioni non esiste un ordine "ufficiale". Comunque nei corsi base generalmente si parte da destra. Infatti sui libri di gruppi in cui si leggono al contrario viene esplicitato che tutte le funzioni vengono lette da sinistra a destra (o per lo meno le permutazioni). Probabilmente tu hai studiato da libri che utilizzano quella notazione. Quando si studiano le permutazioni in maniera più astratta di questi esempi il legame con le funzioni diventa meno evidente ed effettivamente leggerli da sinistra risulta più comodo. Quando si parte da sinistra generalmente non si fa inoltre mai la trasformazione in funzioni (con le parentesi come hai fatto tu) ed inoltre il simbolo di composizione di funzioni viene sempre omesso. Questo deriva anche dal fatto che risulta più scomodo leggere da destra quando si usa il gruppo simmetrico come "estensione" (sto usando il termine in modo un po' improprio) di un altro gruppo. Senza considerare che ogni gruppo è un gruppo di permutazioni.
P.S: per risolvere il problema di usare anche le altre funzioni da sinistra si usa spesso la notazione esponenziale per le funzioni.
Si si è ovvio...ho risposto in merito alle mie conoscenze e a ciò che mi è stato insegnato, non volevo generalizzare.
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