Ancora dubbi sui polinomi :-(
Eccomi ancora qui a chiedervi delle info sui polinomi 
A me in realtà non è chiarissimo ancora in concetto di irriducibilità.
Secondo Ruffini, in $RR[x]$ sono irriducibili solo i polinomi
a) di primo grado
b) di secondo grado con il $Delta < 0$
Giusto?
Ma allora $X^4+1$ è riducibile?
Tutti i polinomi con esponente dispari ammettono radice in $RR$?
Inoltre un polinomio è irruducibile in $ZZ_m[x] hArr$ ammette radici?
Inoltre vorrei svolgere questo esercizio...
Si consideri il polinomio $f=15x^5+10x^4+11x^3+5x^2+7x+32$
a)è irriducibile in $RR[x]$?
Come vedo? devo porre il tutto = 0 oppure c'è qualche concetto che ancora mi sfugge?
Inoltre ovviamente non è detto poi che se non ha radici, non è divisibile ...
b)Ammette almeno una radice?
qui devo per forza porre il mega-polinomio = 0 giusto?
c)in $ZZ_2[x]$ determinare i valori che assume l'applicazione polinomiale $[f]$ determinata da f .
Questa non ho proprio capito che devo fare
Grazie degli aiuti e della pazienza che state dimostrando
A me in realtà non è chiarissimo ancora in concetto di irriducibilità.
Secondo Ruffini, in $RR[x]$ sono irriducibili solo i polinomi
a) di primo grado
b) di secondo grado con il $Delta < 0$
Giusto?
Ma allora $X^4+1$ è riducibile?
Tutti i polinomi con esponente dispari ammettono radice in $RR$?
Inoltre un polinomio è irruducibile in $ZZ_m[x] hArr$ ammette radici?
Inoltre vorrei svolgere questo esercizio...
Si consideri il polinomio $f=15x^5+10x^4+11x^3+5x^2+7x+32$
a)è irriducibile in $RR[x]$?
Come vedo? devo porre il tutto = 0 oppure c'è qualche concetto che ancora mi sfugge?
Inoltre ovviamente non è detto poi che se non ha radici, non è divisibile ...
b)Ammette almeno una radice?
qui devo per forza porre il mega-polinomio = 0 giusto?
c)in $ZZ_2[x]$ determinare i valori che assume l'applicazione polinomiale $[f]$ determinata da f .
Questa non ho proprio capito che devo fare
Grazie degli aiuti e della pazienza che state dimostrando
Risposte
Non posso aiutarti in tutte le tue domande, ma in alcune sì
Sì
Sì
$x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-(xsqrt2)^2=(x^2+xsqrt2+1)(x^2-xsqrt2+1)$
sì, solo che a volte non siamo in grado di trovarle.
No, il polinomio è di quinto grado quindi sicuramente è scomponibile in almeno tre fattori, uno di primo grado e altri due di secondo che potrebbero essere ulteriormente riducibili
Anche qui la risposta è sì, perché il polinomio è di grado dispari
"Marshal87":
Secondo Ruffini, in $RR[x]$ sono irriducibili solo i polinomi
a) di primo grado
b) di secondo grado con il $Delta < 0$
Giusto?
Sì
"Marshal87":
Ma allora $X^4+1$ è riducibile?
Sì
$x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-(xsqrt2)^2=(x^2+xsqrt2+1)(x^2-xsqrt2+1)$
Tutti i polinomi con esponente dispari ammettono radice in $RR$?
sì, solo che a volte non siamo in grado di trovarle.
Si consideri il polinomio $f=15x^5+10x^4+11x^3+5x^2+7x+32$
a)è irriducibile in $RR[x]$?
No, il polinomio è di quinto grado quindi sicuramente è scomponibile in almeno tre fattori, uno di primo grado e altri due di secondo che potrebbero essere ulteriormente riducibili
b)Ammette almeno una radice?
Anche qui la risposta è sì, perché il polinomio è di grado dispari
@melia grazie davvero tanto per le info !! 
Solo una cosa non mi è ancora chiara, anzi in realtà due
1) ancora mi rimane il dubbio che un polinomio è irriducibile in $ZZ_m[x]$ solo se ammette radici in $ZZ_m[x]$
2)la seconda è visto che tutti i polinomi con esponente dispari ammettono radice, allora tutti i polinomi di grado >2 e grado dispari, sono sicuramente riducibili?
Ciao
Solo una cosa non mi è ancora chiara, anzi in realtà due
1) ancora mi rimane il dubbio che un polinomio è irriducibile in $ZZ_m[x]$ solo se ammette radici in $ZZ_m[x]$
2)la seconda è visto che tutti i polinomi con esponente dispari ammettono radice, allora tutti i polinomi di grado >2 e grado dispari, sono sicuramente riducibili?
Ciao
La prima domanda non l'ho capita, sei sicuro che hai scritto bene?
La seconda ha come risposta "sì", in $RR[x]$.
La seconda ha come risposta "sì", in $RR[x]$.
"Steven":
La prima domanda non l'ho capita, sei sicuro che hai scritto bene?
Forse mi sono espresso male io
Quando un polinomio è riducubile in $ZZ_m[x]$? solo quando ammette radici in $ZZ_m$?
Cioè in $ZZ_m$ un polinomio è irriducibile solo se non ammette radici e riducibile solo se le ammette?
Un polinomio $p(x) in ZZ_m[x]$ è riducibile se ha almeno un divisore $q(x) in ZZ_m[x]$ diverso da un invertibile.
Infatti non necessariamente deve avere radici in quel campo. Ti faccio un esempio:
$(x^2+1)^2 in ZZ_7$
non ha radici in $ZZ_7$ ma come vedi subito è riducibile.
Infatti non necessariamente deve avere radici in quel campo. Ti faccio un esempio:
$(x^2+1)^2 in ZZ_7$
non ha radici in $ZZ_7$ ma come vedi subito è riducibile.
"Lord K":
Un polinomio $p(x) in ZZ_m[x]$ è riducibile se ha almeno un divisore $q(x) in ZZ_m[x]$ diverso da un invertibile.
Infatti non necessariamente deve avere radici in quel campo. Ti faccio un esempio:
$(x^2+1)^2 in ZZ_7$
non ha radici in $ZZ_7$ ma come vedi subito è riducibile.
Umh capisco...quindi semplicemente è riducibile se ci sono almeno due polinomi di grado inferiore tali che il loro prodotto dia il polinomio stesso?
Inoltre non riesco a capire un'altro esercizio
Scrivere tutti i polinomi di grado 2 in $ZZ_2[x]$ e verificare che tra essi solo uno è irriducibilie.
Credo che l'insieme di tutti i polinomi di grado 2 sia ${X^2+1,x^2,x^2+x+1,x^2+x}$
Adesso come vedo che solo uno è irriducibile?
Grazie mille !
Fai due conti (in numeri sono i rappresentanti delle classi)
$x^2+1=(x+1)(x-1)$
$x|x^2$, ovviamente.
$x^2+x=x(x+1)$
$x^2+x+1$ è l'unico irriducibile, questo anche perchè $x^2+x+1\equiv x+x+1 \equiv 1(2)$
$x^2+1=(x+1)(x-1)$
$x|x^2$, ovviamente.
$x^2+x=x(x+1)$
$x^2+x+1$ è l'unico irriducibile, questo anche perchè $x^2+x+1\equiv x+x+1 \equiv 1(2)$
"Lord K":
Fai due conti (in numeri sono i rappresentanti delle classi)
$x^2+x+1\equiv x+x+1 \equiv 1(2)$
Ma questo succede solo in $ZZ_2[x]$ perche $ 1^2 = 1 $ e $ 0^2 = 0$ giusto?
Inoltre sempre per la riducibilità dovrei rispondere ad alcune domande alle quale nn riesco a rispondere da solo e quelle che ho risposto nn sono sicuro di aver risposto bene ..
(tutte in $RR[x]$)
1)se f è di grado 2 ed è riducibile, ammette almeno una radice?
2)se f è di grado 3 ed è riducibile, ammette almeno una radice?
3)esiste un polinomio di primo grado e privo di radici?
(io credo di no, ma non so spiegarlo) cioè praticamente x+r ha sempre come radice -r giusto?
4)ogni polinomio di grado 5 ha almeno una radice
5)Esiste un polinomio di grado 2 che ammette tre radici
vabbè questa è banale, ovviamente no perchè per ammettere 3 radici deve essere $f(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)$ che è di terzo grado
Grazie mille !
Nell'esercizio ho usato il piccolo teorema di Fermat, ovvero per ogni primo $p$:
$a^p \equiv a (mod p)$
Per le domande:
1) No, infatti $x^2+1 in RR[x]$ non ha radici.
2) Sì ma ti invito a ragionare perchè! (Hint, supponiamo che ci sia una radice complessa... allora come sono fatte le altre radici? Possono essere tutte complesse? Perchè?)
3) No non esiste, proprio per quello che dici tu.
4) Sì ma la soluzione dipende dalla soluzione alla domanda 2)
5) Ovviamente no per quello che hai detto giustamente tu!
$a^p \equiv a (mod p)$
Per le domande:
1) No, infatti $x^2+1 in RR[x]$ non ha radici.
2) Sì ma ti invito a ragionare perchè! (Hint, supponiamo che ci sia una radice complessa... allora come sono fatte le altre radici? Possono essere tutte complesse? Perchè?)
3) No non esiste, proprio per quello che dici tu.
4) Sì ma la soluzione dipende dalla soluzione alla domanda 2)
5) Ovviamente no per quello che hai detto giustamente tu!
"Lord K":
Nell'esercizio ho usato il piccolo teorema di Fermat, ovvero per ogni primo $p$:
$a^p \equiv a (mod p)$
Per le domande:
1) No, infatti $x^2+1 in RR[x]$ non ha radici.
Ma $x^2+1 in RR[x]$ non ha il delta negativo? come può essere riducibile?
"Lord K":
2) Sì ma ti invito a ragionare perchè! (Hint, supponiamo che ci sia una radice complessa... allora come sono fatte le altre radici? Possono essere tutte complesse? Perchè?)
Ma le radici complesse mica le incontriamo in R? (nn ho capito sorry
)
"Marshal87":
Ma $x^2+1 in RR[x]$ non ha il delta negativo? come può essere riducibile?
Infatti non è riducibile in $RR$, sicuramente è una svista di Lord K.
"Marshal87":
[quote="Lord K"]
2) Sì ma ti invito a ragionare perchè! (Hint, supponiamo che ci sia una radice complessa... allora come sono fatte le altre radici? Possono essere tutte complesse? Perchè?)
Ma le radici complesse mica le incontriamo in R? (nn ho capito sorry
)[/quote]Prova a ragionare sui coniugati.
Sai che se consideri un polinomio (coefficienti reali) in $CC$, allora se ammette una radice complessa deve ammettere anche il coniugato come radice?
Quindi, siccome il numero delle radici in $CC$ è 3, se una radice è non reale, allora un'altra è anche non reale (coniugato).
A questo punto ne è rimasta una, che non può essere non reale, perchè non c'è più nessun'altra radice disponibile per farle da coniugato, quindi...
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