Ancora dubbi su esercizi sui gruppi..
Ecco un altro esercizio che mi ha dato un po' di problemi:
Sia G un gruppo di ordine $n = 2^{m}q$ con $q$ numero primo $>3$ ed $m\geq1 $
1) Dire quanti sono gli elementi di ordine pari in G.
2) Provare che se q non divide l'ordine del centro Z di G allora esiste almeno un elemento $x \in G \\ Z$ tale che $x^{2} \in Z$ (ovvero se x NON appartiene al centro allora il suo quadrato ci appartiene).
Non riporto gli altri due punti che sono riuscito a svolgere poichè non sono preliminari a questi due quesiti.
Sia G un gruppo di ordine $n = 2^{m}q$ con $q$ numero primo $>3$ ed $m\geq1 $
1) Dire quanti sono gli elementi di ordine pari in G.
2) Provare che se q non divide l'ordine del centro Z di G allora esiste almeno un elemento $x \in G \\ Z$ tale che $x^{2} \in Z$ (ovvero se x NON appartiene al centro allora il suo quadrato ci appartiene).
Non riporto gli altri due punti che sono riuscito a svolgere poichè non sono preliminari a questi due quesiti.
Risposte
Per il primo punto devi ricordare che, essendo $G$ un gruppo finito, il periodo di un elemento ne divide l'ordine.
Prova quindi a riflettere su quali sono i divisori dell'ordine di $G$.
Per il secondo comincerei con l'osservare che dalle ipotesi segue che il centro è un sottogruppo di ordine $2^n$ con $n<=m$.
Prova quindi a riflettere su quali sono i divisori dell'ordine di $G$.
Per il secondo comincerei con l'osservare che dalle ipotesi segue che il centro è un sottogruppo di ordine $2^n$ con $n<=m$.
I divisori pari sono $ 2, 2^{2} ,..., 2^{m}, q2, q2^{2},....,q2^{m}$ ovvero sono tutti i possibili divisori eccetto q, ma dei divisori pari come faccio a dire quanti sottogruppi esistono di quel dato ordine?
Nel secondo punto noi sappiamo che q non divide l'ordine del centro, come facciamo a sapere che il centro ha ordine $2^{n}$?
Nel secondo punto noi sappiamo che q non divide l'ordine del centro, come facciamo a sapere che il centro ha ordine $2^{n}$?
"efin_90":
Nel secondo punto noi sappiamo che q non divide l'ordine del centro, come facciamo a sapere che il centro ha ordine $2^{n}$?
Il centro è un sottogruppo di $G$, perciò l'ordine del centro divide $2^m*q$. Se $q$ non divide $|Z(G)|$ allora $q$ non compare nella fattorizzazione di $|Z(G)|$ che quindi deve essere una certa potenza di due.
Per il primo punto invece mi è venuto un dubbio. Scusami ma stasera sono leggermente rimbambito
. Se lo sciolgo ne riparliamo, altrimenti mi auguro intervenga qualcuno con le idee più chiare di me !
Per quanto riguarda il punto 2, si tratta di provare che il quoziente G/Z ha ordine pari (e poi usare il teorema di Cauchy, che dice che se un primo p divide l'ordine di un gruppo G allora G ha un elemento di ordine p). Se l'ordine di G/Z fosse dispari allora sarebbe q e quindi G/Z sarebbe ciclico...
Il punto 1 invece mi sembra troppo più difficile del punto 2 (curioso!). Praticamente chiede di contare i q-Sylow. Un'idea potrebbe essere provare a dimostrare che il numero dei q-Sylow è 1 oppure $2^m$. Ci penserò.
Il punto 1 invece mi sembra troppo più difficile del punto 2 (curioso!). Praticamente chiede di contare i q-Sylow. Un'idea potrebbe essere provare a dimostrare che il numero dei q-Sylow è 1 oppure $2^m$. Ci penserò.
Ecco per il primo punto il problema è capire quanti sono i q-Sylow...
Nel secondo punto per dimostrare che il quoziente ha ordine pari supponi per assurdo che sia dispari quindi segue che l'ordine è q ovvero il gruppo quoziente è ciclico... ma adesso non riesco a capire dove sta l'assurdo!
E poi perchè se il quoziente G/Z ha ordine pari segue la tesi? Cioè a quanto ho capito provi che in tal caso esisterebbe un elemento $x$ di ordine $2$ che sta nel gruppo quoziente, ma questo implica che x non appartierne al centro?
Nel secondo punto per dimostrare che il quoziente ha ordine pari supponi per assurdo che sia dispari quindi segue che l'ordine è q ovvero il gruppo quoziente è ciclico... ma adesso non riesco a capire dove sta l'assurdo!
E poi perchè se il quoziente G/Z ha ordine pari segue la tesi? Cioè a quanto ho capito provi che in tal caso esisterebbe un elemento $x$ di ordine $2$ che sta nel gruppo quoziente, ma questo implica che x non appartierne al centro?
"efin_90":L'assurdo sta nel fatto che se un gruppo finito $G$ è tale che $G//Z$ è ciclico (dove $Z$ è il centro di $G$) allora dev'essere $G=Z$. Non è difficile mostrarlo, provaci, è un calcolo diretto.
Nel secondo punto per dimostrare che il quoziente ha ordine pari supponi per assurdo che sia dispari quindi segue che l'ordine è q ovvero il gruppo quoziente è ciclico... ma adesso non riesco a capire dove sta l'assurdo!
E poi perchè se il quoziente G/Z ha ordine pari segue la tesi? Cioè a quanto ho capito provi che in tal caso esisterebbe un elemento $x$ di ordine $2$ che sta nel gruppo quoziente, ma questo implica che x non appartierne al centro?Se il quoziente G/Z ha ordine pari allora esiste un elemento $x$ di G tale che $xZ$ ha ordine 2 in G/Z, ovvero $x$ non appartiene a Z (altrimenti $xZ=Z$ avrebbe ordine 1 in G/Z) e $x^2Z=Z$, ovvero $x^2 in Z$.
Potresti dirci dove hai trovato questo esercizio?
E' una mia curiosità, perché il punto 1 mi sembra davvero troppo difficile rispetto al punto 2.
Un vecchio compito d'esame di algebra di un algebrista dell'università di Catania! 
Non so se lo abbia fatto il professore che tuttora ho io o se all'epoca (2003) il corso era tenuto da un altro professore.
Domani vado al ricevimento, chiedrò informazioni su tale quesito.
Comunque grazie per l'aiuto.
Un ultima cosa non mi è chiara come faccio a escludere che il centro non abbia ordine 1?
Non so se lo abbia fatto il professore che tuttora ho io o se all'epoca (2003) il corso era tenuto da un altro professore.
Domani vado al ricevimento, chiedrò informazioni su tale quesito.
Comunque grazie per l'aiuto.
Un ultima cosa non mi è chiara come faccio a escludere che il centro non abbia ordine 1?
"efin_90":
Un ultima cosa non mi è chiara come faccio a escludere che il centro non abbia ordine 1?
Se il centro ha ordine 1 è fatta. Infatti per il teorema di Cauchy, essendo 2 un primo che divide l'ordine di G esiste un elemento di periodo 2, che non appartiene al centro ma il cui quadrato è l'elemento neutro. Dico bene?
"efin_90":Non devi escluderlo, è compreso nella discussione fatta: se Z=1 allora è ovvio che G/Z ha ordine pari.
Un ultima cosa non mi è chiara come faccio a escludere che il centro non abbia ordine 1?
Ok perfetto, comunque non sono riuscito a dimostare che se G/Z è ciclico allora il gruppo è abeliano...
"efin_90":Chiama $xZ$ un generatore di $G//Z$. Allora ogni elemento di $G$ è in $x^nZ$ per qualche intero $n$, quindi è del tipo $x^nz$ per qualche $z in Z$. Due elementi generici quindi sono del tipo $x^na$, $x^mb$ con $a,b in Z$, e devi dimostrare che commutano.
Ok perfetto, comunque non sono riuscito a dimostare che se G/Z è ciclico allora il gruppo è abeliano...
Al ricevimento la professoressa mi ha detto che nell'esercizio si doveva semplicemente rispondere: che gli elementi di ordine pari sono tutti quelli che non si trovano nei q-Sylow.
Ovvero non si possono determinare i q-Sylow in generale e quindi si doveva lasciare indicato così (secondo me quando l'hanno fatto l'esercizio non gli è riuscito bene).
Ovvero non si possono determinare i q-Sylow in generale e quindi si doveva lasciare indicato così (secondo me quando l'hanno fatto l'esercizio non gli è riuscito bene
).
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