Ancora domande di Algebra

[Silvia881]

Ciao!
Innanzitutto voglio ringraziare i ragazzi che mi hanno risposto la volta scorsa... siete stati illuminanti
Ho nuovamente un paio di domande da porre:

1)Supponiamo che a sia un numero complesso non reale. Per le proprietà dei campi l'estensione del campo dei numeri razionali Q(a) contiene il campo Q(a^2) (ma non si verifica il contenimento opposto, corregetemi se sbaglio, perchè non è possibile ottenere a come combinazione lineare degli elementi di Q(a^2) ).
Dunque, è possibile che risulti [Q(a):Q(a^2)]=1?

2)Perchè il gruppo (Z/15Z)* non è ciclico? (con Z intendo i numeri interi)
Non dovrebbe risultare che (Z/15Z)* è isomorfo a Z/8Z e pertanto deve risultar ciclico per forza?

Grazie a chiunque risponda
Silvia

[dissonance]

$[QQ(a):QQ(a^2)]$ che cos'è...? non mi ricordo: il grado di $QQ(a^2)$ come estensione di $QQ(a)$ o il contrario? ( )
Invece per le unità di $(ZZ_15,+*)$: siamo d'accordo che sono otto, ma mica l'unico gruppo di ordine otto è $(ZZ_8,+)$. Per esempio le simmetrie di un quadrato sono otto (gruppo diedrale) e non mi pare che sia un gruppo ciclico. Non capisco perché ti aspetti un gruppo ciclico.

[Studente Anonimo]

"Silvia88":Dunque, è possibile che risulti $[Q(a):Q(a^2)]=1$?

Certo, prendi per esempio per $a$ una radice primitiva terza di 1. In questo modo hai $a = -a^2-1$.

[miuemia]

per quanto riguarda il 2. tu sai solo che le unità di $ZZ_15$ fomano un gruppo di ordine $8$ ma vedi che non esiste un unico gruppo di ordine $8$ quindi non è deto che sia $ZZ_8$ anzi può vedere facilmente che in $(ZZ_15)^*$ non vi sono elementi di ordine 8 e dunque non può esssere ciclico.

[dissonance]

@ Silvia: Forse ho capito perché ti aspetti un gruppo ciclico. Questo capita nei campi finiti, ma $(ZZ_15,+,*)$ non è un campo: infatti ad esempio $3*5=0$.