Ancora dimostrazione per induzione

[Asimov1]

Dimostrare usando il principio di induzione che dati n numeri positivi tali che il loro prodotto sia 1, la loro somma è maggiore o uguale ad n.

[Principe2]

forse ci sono:

premessa: metto tra parentesi gli indici.
caso n=2

a(1)a(2)=1, quindi a(1)=1/a(2)
pertanto:
a(1)+a(2)=1/a(2)+a(2) che è evidentemente maggiore di 1.

supponiamolo, per ipotesi induttiva, vera per n, allora:
allora:

se a(1)a(2)*.....*a(n)a(n+1)=1, allora
a(n+1)=1/[a(1)*.....*a(n)]
quindi a(1)+....+a(n+1)=
a(1)+...+a(n)+1/[a(1)*....*a(n)]=

si hanno ora tre casi:

1) se a(1)*...*a(n)<1 allora la frazione è maggiore di 1, quindi tutta l'espressione è maggiore di 1.

2) se a(1)*...*a(n)=1 allora, per l'ipotesi induttiva, a(1)+...+a(n)>1, quindi tutta l'espressione è maggiore di 1.

3) se a(1)*...*a(n)>1 allora, per una sorta di estensione del'ipotesi induttiva, allora a(1)+...+a(n)>1, quindi tutta l'espressione è maggiore di 1.

in conclusione: qualunque caso capiti, il teorema è dimostrato per ogni n.

mi sembra corretta...

ciao, ubermensch