[Analisi Non Standard] Infinitesimi

Clorinda1
Salve a tutti!
Posto qui per esporre un dubbio che non riesco a risolvere.
A lezione mi è stata data la seguente nozione di infinitesimo:

Un numero reale $x$ è detto infinitesimo se per ogni reale standard $r^{\star}>0$ si ha che $-r^{\star} \leq x \leq r^{\star}$

La mia perplessità riguarda l'implicazione seguente:

Ne segue che secondo la definizione $0$ non è infinitesimo.

Ora io mi chiedo se questa affermazione sia davvero corretta.
Ho pensato che per ogni reale standard : $-r^{\star} < 0 < r^{\star}$, quindi la disuguaglianza stretta vale;
non si realizza l'uguaglianza, ma questo non significa che $0$ non sia infinitesimo. O sbaglio? :roll:
Altro problema: vagando un po' in rete alla ricerca di dispense fatte bene ho trovato questo:

Un numero $x \in RR^{\star}$ è infinitesimo se $|x| < \frac{1}{n}$ per ogni numero naturale $n$.
Osserviamo che secondo questa definizione $0$ è infinitesimo. Tuttavia esso è l'unico numero reale infinitesimo.


Noto che qui cambia l'anello: $x$ viene preso in $RR^{\star}$ e non in $RR$, tuttavia considerando i numeri reali come successioni costanti $(r_k)$ in $RR^{\star}$ le definizioni dovrebbero essere equivalenti. Tuttavia si arriva esattamente alla conclusione opposta rispetto a quello che ho fatto a lezione.
Insomma, capirete che in questo momento ho una gran confusione in testa; qualcuno può aiutarmi?

Risposte
vict85
Con chi hai studiato gli infinitesimi? Con Zambella? Perché io nelle sue dispense (ho appena controllato) ho scritto che \(\displaystyle 0 \) è l'unico reale infinitesimo e usando la definizione di infinitesimo come gli elementi \(\displaystyle x\in\mathbb{R}^* \) tali che \(\displaystyle |x|<\varepsilon \) per ogni \(\displaystyle \varepsilon>0 \). Quindi in particolare \(\displaystyle 0 \) è infinitesimo.

A mio avviso quindi c'è un non di troppo...

Inoltre ho controllato e Robinson usa la definizione usata nelle mie dispense di Zambella e considera \(\displaystyle 0 \) infinitesimo. Considerando che l'analisi non standard è opera sua direi che 0 è infinitesimo :wink: .

P.S.: Ho fatto riferimento a Zambella perché ho visto che sei di Torino. Se non studi a Torino però le cose cambiano.

Paolo902
Ah, ecco; in effetti, pure io ricordavo che sulle sue dispense ci fosse scritto che 0 è l'unico reale infinitesimo (ma non ho avuto il tempo di controllare).

Clorinda1
Grazie per le risposte!
Allora, la frase "incriminata" l'ho trovata sulle slides del corso di Fondamenti della Matematica (prof.sa Luciano).
Si tratta solo di slides e non di dispense, quindi avrei dovuto pensare che in questo caso la
probabilità di trovare refusi è molto alta!
Tuttavia la frase "$0$ NON è infinitesimo" mi preoccupava abbastanza!
Grazie per avere dissipato i miei dubbi!

vict85
"Clorinda":
Grazie per le risposte!
Allora, la frase "incriminata" l'ho trovata sulle slides del corso di Fondamenti della Matematica (prof.sa Luciano).
Si tratta solo di slides e non di dispense, quindi avrei dovuto pensare che in questo caso la
probabilità di trovare refusi è molto alta!
Tuttavia la frase "$0$ NON è infinitesimo" mi preoccupava abbastanza!
Grazie per avere dissipato i miei dubbi!


Non so, io l'ho fatto con un altro professore. Ti conviene parlarne con lei. È possibile che sia una questione basata sull'assiomatizzazione scelta e da particolari convenzioni. Anche se a dire il vero, algebricamente parlando, togliere lo \(\displaystyle 0 \) implicherebbe togliere all'insieme degli infinitesimi il fatto di essere un ideale del sottoanello degli iperreali finiti.

Paolo902
Concordo con Vittorio.

E aggiungo che, probabilmente, è proprio diverso il punto di vista: la Luciano a quanto ne so si occupa di fondamenti (per l'appunto) e, magari, l'assiomatica è diversa da quella comunemente accettata in Teoria dei Modelli.

:wink:

Clorinda1
Ho abbandonato le slides e mi sono affidata al quaderno andando a ricontrollare per bene tutte le definizioni e ho pensato che il problema risiede in una osservazione (che non avevo proprio capito, evidentemente!) fatta a lezione, che è la seguente: (riporto ciò che ho scritto sul quaderno)

Def: data una successione di reali $(p_k)_{k\geq 0}$ indichiamo con $z(p)={k \in NN | p_k=0}$
Primo tentativo per definire lo $0$: definiamo $0$ le successioni di numeri reali che sono definitivamente uguali a $0$, ossia le successioni $(p_k)$ per le quali l'insieme di indici $z(p)$ appartiene al filtro di Frèchet $U$.
Tuttavia in base a questa definizione sarebbero diverse da $0$ le successioni del tipo: $A=(0,1,0,1,...), B=(1,0,1,0,..)$ mentre si ha che $\forall k, A_k \cdot B_k=0$
Serve dunque che almeno una delle due successioni venga dichiarata $0$.
Def: $I$ è l'insieme delle successioni $(p_k)_{k\geq 0} \in RR^{N}$ tali che $z(p)={k \in NN | p_k=0} \in U$
(si dimostra che $I$ è ideale).
Indichiamo con $

=(p)+I$ la classe di equivalenza di $p$, ossia il numero iperreale rappresentato dalla successione $(p)$
Osservazione: La moltiplicazione $\forall k, A_k \cdot B_k=0$ non porta più a una contraddizione poiché si ha
$[(0)]=[(A)]$.



A questo punto, se abbiamo che il numero (iperreale) $0$ è rappresentato da una successione del tipo A o B, evidentemente non è vero che $\forall r^{\star}$ reale standard (rappresentato dalla successione costante $(r_k)$) vale la disuguaglianza $0_kr_k$ per infiniti indici (tutti quelli pari o tutti quelli dispari).
Quindi $0$ non è infinitesimo.

Il mio errore quindi prima stava nel fatto di considerare $0 \in RR^{\star}$ come successione costante di reali (0,0,0..) immersa negli iperreali (e allora la disuguaglianza richiesta dalla definizione valeva);
se invece tengo conto dell'osservazione che $[(0)]=[(A)]$ allora essa non vale più per infiniti indici.

Secondo voi può funzionare tutto ciò che ho scritto?

vict85
Noi non usavamo il filtro \(\displaystyle \mathcal{F} \) di Frèchet ma gli ultrafiltri non principali. Un ultrafiltro \(\displaystyle \mathcal{U} \) è un filtro in cui per ogni \(\displaystyle X \in \mathcal{P}(\omega) \) allora \(\displaystyle X\in \mathcal{U} \) oppure \(\displaystyle X^{\mathrm{C}}\in\mathcal{U} \) dove \(\displaystyle X^{\mathrm{C}} \) è il complementare di \(\displaystyle X \). Un ultrafiltro \(\displaystyle \mathcal{U} \) è non principale se \(\displaystyle \mathcal{F}\subset \mathcal{U} \)

Prendiamo una coppia \(\displaystyle a,b\in \mathbb{R}^{\omega} \) tale che \(\displaystyle ab = 0 \) e \(\displaystyle a\ \nsim_{\mathcal{F}}\ 0 \) e \(\displaystyle b\ \nsim_{\mathcal{F}}\ 0 \). Quindi \(\displaystyle X_a = \{i\in \omega| a_i = 0\} \notin \mathcal{F}\), \(\displaystyle X_b = \{i\in \omega| b_i = 0\} \notin \mathcal{F}\) e pertanto \(\displaystyle \mathbb{R}^{\omega}/\mathcal{F} \) possiede un divisore dello \(\displaystyle 0 \).

Questo fatto rende necessari alcuni adattamenti.

Se invece di \(\displaystyle \mathcal{F} \) avessi però considerato un ultrafiltro \(\displaystyle \mathcal{U} \) allora le cose sarebbero andate diversamente. Dimostriamo infatti che \(\displaystyle ab = 0 \) implica \(\displaystyle a\ \sim_{\mathcal{U}}\ 0 \) oppure \(\displaystyle b\ \sim_{\mathcal{U}}\ 0 \).

Siano \(\displaystyle X_a \) e \(\displaystyle X_b \) come sopra. Supponiamo \(\displaystyle X_a \notin \mathcal{U} \). Allora, siccome \(\displaystyle \mathcal{U} \) è un ultrafiltro risulta che \(\displaystyle X_a^{\mathrm{C}}\in \mathcal{U} \).

Da \(\displaystyle ab = 0 \) risulta che \(\displaystyle \forall i\in \omega\), \(\displaystyle(a_i=0)\vee(b_i=0) \) e di conseguenza \(\displaystyle X_a\cup X_b = \omega \) cioè \(\displaystyle X_a\amalg (X_b\cap X_a^{\mathrm{C}}) = X_a\amalg X_a^{\mathrm{C}} \) dove \(\displaystyle \amalg \) indica l'unione disgiunta. Se ne deduce che \(\displaystyle X_a^{\mathrm{C}} = (X_b\cap X_a^{\mathrm{C}}) \) e che quindi \(\displaystyle X_b\supseteq X_a^{\mathrm{C}} \).

Per la definizione di filtro risulta perciò \(\displaystyle X_b\in \mathcal{U} \) e pertanto \(\displaystyle b\ \sim_{\mathcal{U}}\ 0 \). La scelta dell'ultrafiltro quindi risolve il problema dello \(\displaystyle 0 \) descritto dalla tua prof e anzi risulta essere la scelta corretta.

Io penso che la scelta della tua professoressa produca un processo equivalente solo che invece di prendere un qualsiasi ultrafiltro \(\displaystyle \mathcal{U} \) preferisce fare il quoziente con \(\displaystyle \mathcal{F} \) e poi nuovamente quozientare per un ideale massimale dell'anello così ricavato. L'impostazione di Zambella era in questo senso forse più generale (anche se inizialmente ci aveva descritto l'analisi non-standard in senso naïf).

P.S.: \(\displaystyle \omega = \mathbb{N} \) nella teoria degli ordinali.

vict85
Sopra ho usato il quoziente rispetto ad una relazione di equivalenza. Questo metodo risulta abbastanza intuitivo anche se nasconde un po' gli aspetti algebrici.

Infatti \(\displaystyle \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^{\omega}/\mathcal{U} = \mathbb{R}^{\omega}/\mathfrak{m} \) dove \(\displaystyle \mathfrak{m} \) è un ideale (bilatero) di \(\displaystyle \mathbb{R}^{\omega} \), senz'altro massimale, definito come l'insieme degli elementi \(\displaystyle a\in\mathbb{R}^{\omega} \) tali che \(\displaystyle X_a \in \mathcal{U}\).

Questo insieme è un ideale; infatti per ogni \(\displaystyle x\in \mathfrak{m} \) e \(\displaystyle a, b\in \mathbb{R}^{\omega} \) risulta \(\displaystyle X_x\subseteq X_{axb} \) e quindi \(\displaystyle X_{axb}\in \mathcal{U} \).

Rileggendo ho notato che la costruzione presentata da te, seppur molto simile è proprio sbagliata perché \(\displaystyle \mathcal{F} \) non è un ultrafiltro. Infatti se si prende \(\displaystyle X\in\mathcal{P}(\omega) \) tale che \(\displaystyle |X| = |X^{\mathrm{C}}| = \omega \) allora nessuno dei due appartiene a \(\displaystyle \mathcal{F} \) e quindi è possibile definire \(\displaystyle a,b\in \mathbb{R}^{\omega} \) tali che \(\displaystyle ab=0 \) senza che ne \(\displaystyle a \) ne \(\displaystyle b \) siano \(\displaystyle 0 \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^{\omega}/\mathcal{F} \).
Nell'esempio proposto dalla professoressa risulta che \(\displaystyle a \notin 0+I \) perché gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari non sono cofiniti.

Clorinda1
Grazie per la risposta, Vict!
I tuoi ultimi due post non sono facilissimi da capire (per colpa mia che ho un background algebrico non particolarmente solido!) e ci devo ancora meditare su parecchio prima di poter affermare di avere veramente capito! :-D

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