Altro problema urgente... sono una frana!!!!
Ho un linguaggio elementare L, con un simbolo di relazione R(x,y) e simboli di costanti c1 , c2 , . . .
Attraverso insieme di formule devo formulare le seguenti affermazioni..... alcune sono riuscita a farle.. e le scriverò.. ma altre non riesco:
R(x,y) definisce una relazione di equivalenza:
{∀xR(x,x), ∀x∀y(R(x,y)→R(y,x)), ∀x∀y∀z((R(x,y)∧R(y,z))→R(x,z))} giusto vero?
Questa relazione ha infinite classi:
{∀x∃y¬R(x,y)}
Ogni classe ha infiniti elementi... questa come si fa???
Per ogni i diverso da j ci sta in una classe diversa da cj:
{∀ci ∀ cj ¬R(ci, cj)} dove i diverso da j
Cosa ne dite??
Il problema principale mi sorge ora....
ho dom(M) le coppie (a,b) con a,b numeri naturali, poi R((a,b),(c,d)) se e solo se a=c, ci=(i,0)
e devo rispondere a questa domanda... quali degli insiemi prima scritti sono M ⊨ ?
E poi...: Mostrare l'esistenza di un Modello N di Th(M) tale che soddisfa una classe di R che non contenga nessuna costante.
Io non riesco a capire cosa devo fare... grazie
Attraverso insieme di formule devo formulare le seguenti affermazioni..... alcune sono riuscita a farle.. e le scriverò.. ma altre non riesco:
R(x,y) definisce una relazione di equivalenza:
{∀xR(x,x), ∀x∀y(R(x,y)→R(y,x)), ∀x∀y∀z((R(x,y)∧R(y,z))→R(x,z))} giusto vero?
Questa relazione ha infinite classi:
{∀x∃y¬R(x,y)}
Ogni classe ha infiniti elementi... questa come si fa???
Per ogni i diverso da j ci sta in una classe diversa da cj:
{∀ci ∀ cj ¬R(ci, cj)} dove i diverso da j
Cosa ne dite??
Il problema principale mi sorge ora....
ho dom(M) le coppie (a,b) con a,b numeri naturali, poi R((a,b),(c,d)) se e solo se a=c, ci=(i,0)
e devo rispondere a questa domanda... quali degli insiemi prima scritti sono M ⊨ ?
E poi...: Mostrare l'esistenza di un Modello N di Th(M) tale che soddisfa una classe di R che non contenga nessuna costante.
Io non riesco a capire cosa devo fare... grazie
Risposte
Il secondo non va bene, perché così ti assicuri l'esistenza soltanto di due classi di equivalenza. Il quarto non va perché non puoi quantificare universalmente delle costanti 
. Comunque basta che togli la quantificazione ed è giusto. Per il resto ora non ho tempo, vedrò più tardi...
. Comunque basta che togli la quantificazione ed è giusto. Per il resto ora non ho tempo, vedrò più tardi...
Per il secondo: ${ EEx_1EEx_2...EEx_n notR(x_1,x_2)^^notR(x_1,x_3)^^....^^notR(x_n,x_(n-1)) | n\in NN}$.
Per il terzo: ${AAxAAx_1....AAx_n (R(x,x_1)^^...^^R(x,x_n))\rightarrow(EEyR(y,x)^^y\ne x^^y\ne x_1^^...^^y\ne x_n) | n\in NN}$.
Per il quinto: M soddisfa tutti gli insiemi di formule degli esercizi precedenti.
Per il sesto: Dobbiamo trovare un modello N di Th(M) tale che esiste una classe di equivalenza di R in N che non contiene una costante. L'idea e' usare il teorema di compattezza. Introduciamo un nuovo simolo per costante k. Poniamo $A={k\ne c_i | i\in NN}$. Ora basta far vedere che $Th(M)uuA$ e' finitamente soddisfacibile, il che e' facile. Dunque concludiamo che $Th(M)$ e' soddisfacibile in un modello N che dunque conterra' un elemento k che non sta in nessuna classe di equivalenza di $c_i$ per $i\in NN$.
Per il terzo: ${AAxAAx_1....AAx_n (R(x,x_1)^^...^^R(x,x_n))\rightarrow(EEyR(y,x)^^y\ne x^^y\ne x_1^^...^^y\ne x_n) | n\in NN}$.
Per il quinto: M soddisfa tutti gli insiemi di formule degli esercizi precedenti.
Per il sesto: Dobbiamo trovare un modello N di Th(M) tale che esiste una classe di equivalenza di R in N che non contiene una costante. L'idea e' usare il teorema di compattezza. Introduciamo un nuovo simolo per costante k. Poniamo $A={k\ne c_i | i\in NN}$. Ora basta far vedere che $Th(M)uuA$ e' finitamente soddisfacibile, il che e' facile. Dunque concludiamo che $Th(M)$ e' soddisfacibile in un modello N che dunque conterra' un elemento k che non sta in nessuna classe di equivalenza di $c_i$ per $i\in NN$.
Grazie davvero
sei fenomenale!!!!
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