Altro esercizio di algebra very nice!
oggi ho fatto l'esame di algebra e c'è stato un esercizio molto carino (di cui non ho dato una dimostrazione molto rigorosa, però è quello che voglio fare in questi giorni) che vi propongo a voi:
consideriamo l'anello dei polinomi $CC[T]$; determinare $MCD(T^m-1,T^n-1)$ con m, n interi positivi e $m>=n$.
consideriamo l'anello dei polinomi $CC[T]$; determinare $MCD(T^m-1,T^n-1)$ con m, n interi positivi e $m>=n$.
Risposte
Dato che siamo in $CC[T]$ $T^m=1$ e $T^n=1$ hanno rispettivamente $m$ ed $n$ radici distinte. Si sa che le radici n-esime dell'unità formano un gruppo ciclico.
Ora abbiamo che $(T^m-1) = (T-e^(2pii*1/m))(T-e^(2pii*2/m))(T-e^(2pii*3/m))...(T-e^(2pii*(m-1)/m))(T-1) = prod_(k=1)^m (T-e^(2pii k/m))$ e che $(T^n-1) = (T-e^(2pii*1/n))(T-e^(2pii*2/n))(T-e^(2pii*3/n))...(T-e^(2pii*(n-1)/n))(T-1) = prod_(k=1)^n (T-e^(2pii k/n))$
Per la formula delle radici vedi [url]http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unità[/url]
Graficamente le radici sono tutte disposte su una circonferenza immaginaria di raggio $1$ e centro $0$ e sono i vertici di un due poligoni regolari di $m$ ed $n$ lati rispettivamente.
Guardando la formula delle radici è immediato che $e^(2pii*k/m) = e^(2pii*t/n)$ se $k/m = t/n$. Ma se vale per $k/m$ varrà anche per $(2k)/m$ e così via. Quindi vedendolo dal punto di vista dei due gruppi ciclici significa che ci sono radici comuni se $|<[k]_m>| = |<[t]_n>|$. Quindi ricordando che ogni gruppo ciclico ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine del gruppo si deduce che per ogni divisore comune di $m$ e $n$ si ha un insieme di radici comuni ai due polinomi. Quindi prendiamo in $m$ un generatore per ognuno di questi sottogruppi $g_(d_1), g_(d_2), g_(d_3)...$. Passando a $ZZ_m$ qli elementi $g_(d_1), g_(d_2), g_(d_3)...$ hanno immagine $m/(d_1), m/(d_2), m/(d_3)...$. Il gruppo generato da $$$=$$$ e ha cardinalità $MCD(m,n)$. Quindi $MCD(T^m-1,T^n-1)$ ha $MCD(m,n)$ radici distinte. Per l'esattezza $MCD(T^m-1,T^n-1) = prod_(k=1)^(MCD(m,n)) (T-e^(2pii k(m//MCD(m,n))/m))$
Ora abbiamo che $(T^m-1) = (T-e^(2pii*1/m))(T-e^(2pii*2/m))(T-e^(2pii*3/m))...(T-e^(2pii*(m-1)/m))(T-1) = prod_(k=1)^m (T-e^(2pii k/m))$ e che $(T^n-1) = (T-e^(2pii*1/n))(T-e^(2pii*2/n))(T-e^(2pii*3/n))...(T-e^(2pii*(n-1)/n))(T-1) = prod_(k=1)^n (T-e^(2pii k/n))$
Per la formula delle radici vedi [url]http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unità[/url]
Graficamente le radici sono tutte disposte su una circonferenza immaginaria di raggio $1$ e centro $0$ e sono i vertici di un due poligoni regolari di $m$ ed $n$ lati rispettivamente.
Guardando la formula delle radici è immediato che $e^(2pii*k/m) = e^(2pii*t/n)$ se $k/m = t/n$. Ma se vale per $k/m$ varrà anche per $(2k)/m$ e così via. Quindi vedendolo dal punto di vista dei due gruppi ciclici significa che ci sono radici comuni se $|<[k]_m>| = |<[t]_n>|$. Quindi ricordando che ogni gruppo ciclico ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine del gruppo si deduce che per ogni divisore comune di $m$ e $n$ si ha un insieme di radici comuni ai due polinomi. Quindi prendiamo in $m$ un generatore per ognuno di questi sottogruppi $g_(d_1), g_(d_2), g_(d_3)...$. Passando a $ZZ_m$ qli elementi $g_(d_1), g_(d_2), g_(d_3)...$ hanno immagine $m/(d_1), m/(d_2), m/(d_3)...$. Il gruppo generato da $
Per come ho la mente in questo momento potrei anche aver scritto cose assolutamente sbagliate... 
quindi ti conviene controllare.
quindi ti conviene controllare.
si o scritto in altro modo $MCD(T^m-1,T^n-1)=T^(MCD(n,m))-1$ 
molto bella la dimostrazione.
ti propongo anche la mia:
siano $(T^n-1),(T^m-1)$ i due polinomi, la loro decomposizione è unica:
$(T^n-1)=prod_(k=1)^n(T-lambda_k)^(epsilon_k(n))$ e
$(T^m-1)=prod_(k=1)^m(T-lambda_k)^(epsilon_k(m))$
ricordando che se m,n sono due polinomi e indicato con $MIr$ i polinomi irriducibili su $CC[T]$, $MCD(m,n)=prod_(a\in\MIr)a^(min(epsilon_a(n),epsilon_a(m)))$.
In questo caso essendo che la decomposizione ammette tutte radici distinte (essendo radici dell'unità), abbiamo che $MCD(m,n)={prod_(a\in\MIr)(a) " tali per cui " epsilon_a(n)=1=epsilon_a(m)}$ per l'osservazione appena fatta.
quindi se h è il numero di questi polinomi, l'MCD diventa $prod_(k=1)^h(T-lambda_k)$ con $(T-lambda_k)|(T^m-1)$ e $(T-lambda_k)|(T^n-1)$. da queste ultime 4 righe si conclude che $h=MCD(m,n)$.
Cioè $MCD(T^m-1,T^n-1)=T^(MCD(m,n))-1$
la tua forse è un pò più rigorosa sull'ultimo passaggio
molto bella la dimostrazione.ti propongo anche la mia:
siano $(T^n-1),(T^m-1)$ i due polinomi, la loro decomposizione è unica:
$(T^n-1)=prod_(k=1)^n(T-lambda_k)^(epsilon_k(n))$ e
$(T^m-1)=prod_(k=1)^m(T-lambda_k)^(epsilon_k(m))$
ricordando che se m,n sono due polinomi e indicato con $MIr$ i polinomi irriducibili su $CC[T]$, $MCD(m,n)=prod_(a\in\MIr)a^(min(epsilon_a(n),epsilon_a(m)))$.
In questo caso essendo che la decomposizione ammette tutte radici distinte (essendo radici dell'unità), abbiamo che $MCD(m,n)={prod_(a\in\MIr)(a) " tali per cui " epsilon_a(n)=1=epsilon_a(m)}$ per l'osservazione appena fatta.
quindi se h è il numero di questi polinomi, l'MCD diventa $prod_(k=1)^h(T-lambda_k)$ con $(T-lambda_k)|(T^m-1)$ e $(T-lambda_k)|(T^n-1)$. da queste ultime 4 righe si conclude che $h=MCD(m,n)$.
Cioè $MCD(T^m-1,T^n-1)=T^(MCD(m,n))-1$
la tua forse è un pò più rigorosa sull'ultimo passaggio
"fu^2":
si o scritto in altro modo $MCD(T^m-1,T^n-1)=T^(MCD(n,m))-1$
ti propongo anche la mia:
siano $(T^n-1),(T^m-1)$ i due polinomi, la loro decomposizione è unica:
$(T^n-1)=prod_(k=1)^n(T-lambda_k)^(epsilon_k(n))$ e
$(T^m-1)=prod_(k=1)^m(T-lambda_k)^(epsilon_k(m))$
ricordando che se m,n sono due polinomi e indicato con $MIr$ i polinomi irriducibili su $CC[T]$, $MCD(m,n)=prod_(a\in\MIr)a^(min(epsilon_a(n),epsilon_a(m)))$.
In questo caso essendo che la decomposizione ammette tutte radici distinte (essendo radici dell'unità), abbiamo che $MCD(m,n)={prod_(a\in\MIr)(a) " tali per cui " epsilon_a(n)=1=epsilon_a(m)}$ per l'osservazione appena fatta.
quindi se h è il numero di questi polinomi, l'MCD diventa $prod_(k=1)^h(T-lambda_k)$ con $(T-lambda_k)|(T^m-1)$ e $(T-lambda_k)|(T^n-1)$. da queste ultime 4 righe si conclude che $h=MCD(m,n)$.
Cioè $MCD(T^m-1,T^n-1)=T^(MCD(T^m-1,T^n-1))-1$
la tua forse è un pò più rigorosa sull'ultimo passaggio
Neanche poi tanto... la tua è effettivamente corretta. Io ho soltanto espresso il polinomio in un'altra forma. Effettivamente mi sono dimenticato di semplificare i due m. Se li semplificavo mi veniva il tuo stesso polinomio $T^(MCD(m,n))-1 = prod_(k=1)^(MCD(m,n)) (T-e^((piik)/(MCD(m,n))))$.
P.S: molto probabilmente ho fatto passaggi inutili
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