Altra dimostrazione per induzione
Ciao a tutti,
vi sottopongo un altra tipologia di esercizio sulla dimostrazione per induzione:
$ 3|(n^3 - n) $
Come posso dimostrare una cosa del genere?
Un ragionamento che si potrebbe fare è questo:
Se $ 3|(n^3 - n) rightarrow (n^3 - n)=3k $
Per $P(0)$ è vera infatti $(0^3 - 0) = 3*0$
Ora, assunto vero P(n) provo P(n+1):
$((n+1)^3 - (n+1)) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n^2 + 2n = (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n)$
Avremo quindi $(n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3k + 3n^2 + 3n rightarrow (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3(k + n^2 + n)$
Per cui $3 | ((n^3 - n ) + (3n^2 + 3n))$
E' giusto ? L'ho risolto un pò meccanicamente...
voi come fareste per dimostrare che:
$8 | (3^(2n) -1 ) $ ? Magari così capisco il metodo
vi sottopongo un altra tipologia di esercizio sulla dimostrazione per induzione:
$ 3|(n^3 - n) $
Come posso dimostrare una cosa del genere?
Un ragionamento che si potrebbe fare è questo:
Se $ 3|(n^3 - n) rightarrow (n^3 - n)=3k $
Per $P(0)$ è vera infatti $(0^3 - 0) = 3*0$
Ora, assunto vero P(n) provo P(n+1):
$((n+1)^3 - (n+1)) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n^2 + 2n = (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n)$
Avremo quindi $(n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3k + 3n^2 + 3n rightarrow (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3(k + n^2 + n)$
Per cui $3 | ((n^3 - n ) + (3n^2 + 3n))$
E' giusto ? L'ho risolto un pò meccanicamente...
voi come fareste per dimostrare che:
$8 | (3^(2n) -1 ) $ ? Magari così capisco il metodo

Risposte
Non c'è bisogno dell'induzione qui.
Infatti il numero \(n^3-n\) si fattorizza come prodotto di tre numeri naturali consecutivi, i.e. \((n-1)\ n\ (n+1)\), pertanto esso è certamente divisibile per \(3\) (in quanto almeno uno tra i suoi fattori è necessariamente multiplo di \(3\)).
Per quanto riguarda il secondo esercizio, puoi provare a fattorizzare \(3^{2n}-1\) come differenza di quadrati ed a mostrare che almeno uno dei due fattori è divisibile per \(4\) (l'altro è sempre divisibile per \(2\) e quindi ottieni la tesi).
Infatti il numero \(n^3-n\) si fattorizza come prodotto di tre numeri naturali consecutivi, i.e. \((n-1)\ n\ (n+1)\), pertanto esso è certamente divisibile per \(3\) (in quanto almeno uno tra i suoi fattori è necessariamente multiplo di \(3\)).
Per quanto riguarda il secondo esercizio, puoi provare a fattorizzare \(3^{2n}-1\) come differenza di quadrati ed a mostrare che almeno uno dei due fattori è divisibile per \(4\) (l'altro è sempre divisibile per \(2\) e quindi ottieni la tesi).
"gugo82":
Non c'è bisogno dell'induzione qui.
Infatti il numero \(n^3-n\) si fattorizza come prodotto di tre numeri naturali consecutivi, i.e. \((n-1)\ n\ (n+1)\), pertanto esso è certamente divisibile per \(3\) (in quanto almeno uno tra i suoi fattori è necessariamente multiplo di \(3\)).
Anche questo è vero !
Però l'esercizio consiste proprio nel dimostrarlo per induzione, a scopo didattico !
Base:
$n=0$
Lascio a te i conti
Passo:
$3|(n+1)^3 - (n+1) Leftrightarrow 3|n^3 +3n^2 +3n +1 -n-1 Leftrightarrow...$
Lascio a te i conti ancora una volta
$n=0$
Lascio a te i conti

Passo:
$3|(n+1)^3 - (n+1) Leftrightarrow 3|n^3 +3n^2 +3n +1 -n-1 Leftrightarrow...$
Lascio a te i conti ancora una volta

$(n+1)n(n-1)$ per cui uno tra n-1 n e n+1 sarà un multiplo di 3 e per cui è divisibile 
Dai che ora sto facendo gli esercizi su MCD e Congruenze...a presto

Dai che ora sto facendo gli esercizi su MCD e Congruenze...a presto
