Altra dimostrazione per induzione

lorenzoasr1
Ciao a tutti,

vi sottopongo un altra tipologia di esercizio sulla dimostrazione per induzione:

$ 3|(n^3 - n) $

Come posso dimostrare una cosa del genere?

Un ragionamento che si potrebbe fare è questo:

Se $ 3|(n^3 - n) rightarrow (n^3 - n)=3k $

Per $P(0)$ è vera infatti $(0^3 - 0) = 3*0$

Ora, assunto vero P(n) provo P(n+1):

$((n+1)^3 - (n+1)) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n^2 + 2n = (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n)$

Avremo quindi $(n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3k + 3n^2 + 3n rightarrow (n^3 - n ) + (3n^2 + 3n) = 3(k + n^2 + n)$

Per cui $3 | ((n^3 - n ) + (3n^2 + 3n))$

E' giusto ? L'ho risolto un pò meccanicamente...
voi come fareste per dimostrare che:

$8 | (3^(2n) -1 ) $ ? Magari così capisco il metodo :D

Risposte
gugo82
Non c'è bisogno dell'induzione qui.
Infatti il numero \(n^3-n\) si fattorizza come prodotto di tre numeri naturali consecutivi, i.e. \((n-1)\ n\ (n+1)\), pertanto esso è certamente divisibile per \(3\) (in quanto almeno uno tra i suoi fattori è necessariamente multiplo di \(3\)).

Per quanto riguarda il secondo esercizio, puoi provare a fattorizzare \(3^{2n}-1\) come differenza di quadrati ed a mostrare che almeno uno dei due fattori è divisibile per \(4\) (l'altro è sempre divisibile per \(2\) e quindi ottieni la tesi).

lorenzoasr1
"gugo82":
Non c'è bisogno dell'induzione qui.
Infatti il numero \(n^3-n\) si fattorizza come prodotto di tre numeri naturali consecutivi, i.e. \((n-1)\ n\ (n+1)\), pertanto esso è certamente divisibile per \(3\) (in quanto almeno uno tra i suoi fattori è necessariamente multiplo di \(3\)).


Anche questo è vero !

Però l'esercizio consiste proprio nel dimostrarlo per induzione, a scopo didattico !

Maci86
Base:
$n=0$
Lascio a te i conti :D
Passo:
$3|(n+1)^3 - (n+1) Leftrightarrow 3|n^3 +3n^2 +3n +1 -n-1 Leftrightarrow...$
Lascio a te i conti ancora una volta :D

lorenzoasr1
$(n+1)n(n-1)$ per cui uno tra n-1 n e n+1 sarà un multiplo di 3 e per cui è divisibile :D

Dai che ora sto facendo gli esercizi su MCD e Congruenze...a presto :D

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