Allineamenti decimali e frazioni
Buongiorno!
Su alcune dispense online vi è scritto che nel tentativo di determinare la frazione a cui è associato un generico sviluppo decimale positivo con periodo diverso da $9$, si ottiene la seguente formula:
$p/10^h+q/(10^k(10^l-1))$ (1)
Scegliendo opportunamente $p,q,h,k$ come interi e $l$ come intero positivo.
Ora, conoscendo le regole per ottenere la frazione relativa ad uno sviluppo decimale di periodo diverso da $9$ ottengo che dato lo sviluppo $n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})$ (con $n \in ZZ$, $a_i \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \forall i \in NN$ e "$()$" parte periodica) si ha che
$n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=(n a_1 \cdots a_k a_{k+1} \cdots a_{k+l}-na_1 \cdots a_k)/(10^k(10^l-1))$.
Come si ottiene la formula (1) quindi?
Ho pensato che si possa ottenere considerando che $n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=n,a_1 \cdots a_k +0,0 \cdots 0 (a_{k+1} \cdots a_{k+l})$ e quindi $n,a_1 \cdots a_k = (na_1 \cdots a_k) / 10^k$, mentre $0,0 \cdots 0 (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=(a_{k+1} \cdots a_{k+l})/(10^k(10^l-1))$; da qui risulta infine che $n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=(na_1 \cdots a_k) / 10^k+(a_{k+1} \cdots a_{k+l})/(10^k(10^l-1))$ e ponendo $p=na_1 \cdots a_k$ e $q=a_{k+1} \cdots a_{k+l}$ si conclude. Tuttavia si avrebbe in ogni caso che $h=k$ e che senso avrebbe allora introdurre un parametro in più? Forse ho sbagliato il ragionamento.... Se è sì: come si arriva alla (1)? :/
Vi ringrazio in anticipo!
Su alcune dispense online vi è scritto che nel tentativo di determinare la frazione a cui è associato un generico sviluppo decimale positivo con periodo diverso da $9$, si ottiene la seguente formula:
$p/10^h+q/(10^k(10^l-1))$ (1)
Scegliendo opportunamente $p,q,h,k$ come interi e $l$ come intero positivo.
Ora, conoscendo le regole per ottenere la frazione relativa ad uno sviluppo decimale di periodo diverso da $9$ ottengo che dato lo sviluppo $n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})$ (con $n \in ZZ$, $a_i \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \forall i \in NN$ e "$()$" parte periodica) si ha che
$n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=(n a_1 \cdots a_k a_{k+1} \cdots a_{k+l}-na_1 \cdots a_k)/(10^k(10^l-1))$.
Come si ottiene la formula (1) quindi?
Ho pensato che si possa ottenere considerando che $n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=n,a_1 \cdots a_k +0,0 \cdots 0 (a_{k+1} \cdots a_{k+l})$ e quindi $n,a_1 \cdots a_k = (na_1 \cdots a_k) / 10^k$, mentre $0,0 \cdots 0 (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=(a_{k+1} \cdots a_{k+l})/(10^k(10^l-1))$; da qui risulta infine che $n,a_1 \cdots a_k (a_{k+1} \cdots a_{k+l})=(na_1 \cdots a_k) / 10^k+(a_{k+1} \cdots a_{k+l})/(10^k(10^l-1))$ e ponendo $p=na_1 \cdots a_k$ e $q=a_{k+1} \cdots a_{k+l}$ si conclude. Tuttavia si avrebbe in ogni caso che $h=k$ e che senso avrebbe allora introdurre un parametro in più? Forse ho sbagliato il ragionamento.... Se è sì: come si arriva alla (1)? :/
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Allora: per arrivare alla (1) basta utilizzare la serie geometrica, suddividendo tra parte intera / antiperiodo e parte periodica.. Solo che in ogni caso mi vien fuori che $h=k$.. è questo il problema..
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