Algebre di Banach
Ciao a tutti, chi di voi è esperto di algebre di Banach o in serie formali bilatere di potenze?
In particolare sullo spazio delle successioni uniformemente convergenti [tex]l_{1}\left(\mathbb{Z}\right)[/tex] è definita la convoluzione tra due successioni [tex]x=x_{n}[/tex] [tex]y=y_{n}[/tex] come [tex]z_{n}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x_{i}y_{n-i}[/tex]. C'è una formula esplicita per la potenza di convoluzione [tex]x^{n}[/tex]?
Poi, data una serie bilatera, si possono trovare dei coefficenti in modo da esprimere [tex]^{n}\sqrt{\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_{i}X^{i}}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}b_{i}X^{i}[/tex], dove le [tex]a_{i}[/tex] sono in [tex]l_{1}\left(\mathbb{Z}\right)[/tex] ??. Ho trovato formule di inversione, potenza ecc.. solo per serie unilatere.
In particolare sullo spazio delle successioni uniformemente convergenti [tex]l_{1}\left(\mathbb{Z}\right)[/tex] è definita la convoluzione tra due successioni [tex]x=x_{n}[/tex] [tex]y=y_{n}[/tex] come [tex]z_{n}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x_{i}y_{n-i}[/tex]. C'è una formula esplicita per la potenza di convoluzione [tex]x^{n}[/tex]?
Poi, data una serie bilatera, si possono trovare dei coefficenti in modo da esprimere [tex]^{n}\sqrt{\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_{i}X^{i}}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}b_{i}X^{i}[/tex], dove le [tex]a_{i}[/tex] sono in [tex]l_{1}\left(\mathbb{Z}\right)[/tex] ??. Ho trovato formule di inversione, potenza ecc.. solo per serie unilatere.
Risposte
Prima domanda le $b_i$ sono note? se si la convergenza e' in $l^1$ e' ok. Infatti $l^1$ e' un'algebra di Banach per la convoluzione per cui vale la regola
$|ab|\leq |a||b|$ da cui se $f=g^n$ allora $|f|=|g^n|\leq |g|^n < \infty$.
Per quanto riguarda la formula esplicita cosa intendi? non ti basta che sia definita per ricorrenza?
$|ab|\leq |a||b|$ da cui se $f=g^n$ allora $|f|=|g^n|\leq |g|^n < \infty$.
Per quanto riguarda la formula esplicita cosa intendi? non ti basta che sia definita per ricorrenza?
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