Algebra - vari dubbi
Facendo gli esercizi di Algebra II mi sono resa conto di avere diversi dubbi.
Qualcuno potrebbe mostrarmi il procedimento per fare questi esercizi?
1. Sia A=R[x] x R[x] (prodotto cartesiano), J l'ideale generato da $(2, x^2 +2)$.
Esiste un isomorfismo di anelli tra A/J e C?
2. Sia $A=Z_13 ^*$ il gruppo degli elementi invertibili di $Z_13$ e $Z_4$ il gruppo additivo delle classi di resto modulo 4. Determinare tutti i morfismi da $Z_4$ a A. Dire se ce ne sono di suriettivi. Quanti sono gli iniettivi?
3. Sia E una relazione di equivalenza su $Z$x$Z$ definita così: per ogni (z,w), (v,g) appartenenti a $Z$x$Z$, (z,w)E(v,g) se e solo se |z| +2|w| = |v| +2|g|.
Provare che ($Z$x$Z$)/E è infinito.
4. L'ideale $(x^2 -5x +4) + (x-2)$ di $Z[x]$ è principale? [qui ho un dubbio più generale: in un caso come questo per trovare un generatore di quest'ideale dovrei trovare l'MCD? Se sono relativamente primi l'ideale coincide con Z[x]? Non so se posso farlo in Z[x] o vale solo in K[x] con K campo. Nel caso non si usi l'MCD cosa si usa?]
5. Sia $g= x^4 -x^2 -1$ in $Z_5 [x]$. Trovare il campo di spezzamento di g su $Z_5$.
6. Sia X={0,1} e $A$ l'anello delle funzioni punto per punto da X all'anello $Z_3$. trovare i divisori di 0 di A. E' vero che se $f \in A$ allora f è divisore di 0 oppure è invertibile?Esiste un sottoanello di A che sia un dominio di integrità?
7. Siano a=(2 4 7), b=(1 5) nel gruppo delle permutazioni $S_7$ di {1,2...,6,7}. Sia S il sottogruppo generato da {a,b}. Quanti sono i morfismi da Z a $S_7$ che hanno S come immagine?
8. Sia $a $appartenente a$ S_7$ tale che a(3)=6, a(6)=1, a(1)=3. E' vero che $a^3$ commuta con (3 6)?
Scusate se sono mille, vi garantisco che sono un decimo del totale di quelli da me svolti!!
Grazie a chi me ne risolverà qualcuno!!
Paola
Qualcuno potrebbe mostrarmi il procedimento per fare questi esercizi?
1. Sia A=R[x] x R[x] (prodotto cartesiano), J l'ideale generato da $(2, x^2 +2)$.
Esiste un isomorfismo di anelli tra A/J e C?
2. Sia $A=Z_13 ^*$ il gruppo degli elementi invertibili di $Z_13$ e $Z_4$ il gruppo additivo delle classi di resto modulo 4. Determinare tutti i morfismi da $Z_4$ a A. Dire se ce ne sono di suriettivi. Quanti sono gli iniettivi?
3. Sia E una relazione di equivalenza su $Z$x$Z$ definita così: per ogni (z,w), (v,g) appartenenti a $Z$x$Z$, (z,w)E(v,g) se e solo se |z| +2|w| = |v| +2|g|.
Provare che ($Z$x$Z$)/E è infinito.
4. L'ideale $(x^2 -5x +4) + (x-2)$ di $Z[x]$ è principale? [qui ho un dubbio più generale: in un caso come questo per trovare un generatore di quest'ideale dovrei trovare l'MCD? Se sono relativamente primi l'ideale coincide con Z[x]? Non so se posso farlo in Z[x] o vale solo in K[x] con K campo. Nel caso non si usi l'MCD cosa si usa?]
5. Sia $g= x^4 -x^2 -1$ in $Z_5 [x]$. Trovare il campo di spezzamento di g su $Z_5$.
6. Sia X={0,1} e $A$ l'anello delle funzioni punto per punto da X all'anello $Z_3$. trovare i divisori di 0 di A. E' vero che se $f \in A$ allora f è divisore di 0 oppure è invertibile?Esiste un sottoanello di A che sia un dominio di integrità?
7. Siano a=(2 4 7), b=(1 5) nel gruppo delle permutazioni $S_7$ di {1,2...,6,7}. Sia S il sottogruppo generato da {a,b}. Quanti sono i morfismi da Z a $S_7$ che hanno S come immagine?
8. Sia $a $appartenente a$ S_7$ tale che a(3)=6, a(6)=1, a(1)=3. E' vero che $a^3$ commuta con (3 6)?
Scusate se sono mille, vi garantisco che sono un decimo del totale di quelli da me svolti!!
Grazie a chi me ne risolverà qualcuno!!
Paola
Risposte
4) L'ideale $(x^2-5x+4)+(x-2)$ non e' un ideale principale di $Z[x]$. Se lo fosse, certamente $x^2-5x+4$ e $x-2$ avrebbero un divisore comune e poiche' $(x^2-5x+4)=(x-1)(x-4)$, il divisore comune dovrebbe essere $1$. Dunque avremmo che $(x^2-5x+4)+(x-2)=Z[x]$. Ma allora in particolare dovrebbero esistere polinomi $p(x)$ e $q(x)$ in $Z[x]$ tali che $(x^2-5x+4)p(x)+(x-2)q(x)=1$ e dunque interi $a,b$ tali che $4a-2b=1$ e dunque $2$ dividerebbe $1$, assurdo.
Grazie mille... Qualcuno mi dà una mano con gli altri please?
"prime_number":
6. Sia X={0,1} e $A$ l'anello delle funzioni punto per punto da X all'anello $Z_3$. trovare i divisori di 0 di A. E' vero che se $f \in A$ allora f è divisore di 0 oppure è invertibile?Esiste un sottoanello di A che sia un dominio di integrità?
L'anello $A$ è isomorfo all'anello $Z_3 \times Z_3$ e l'isomorfismo è dato da $\varphi: A\to Z_3 \times Z_3$ definita ponendo per ogni $f\in A$, $\varphi(f) = (f(0), f(1))$.
Poichè $Z_3$ è un campo, un elemento $(a,b)\in Z_3\times Z_3$ è divisore dello zero se e solo se $a=0$ o $b=0$. Se $(a,b)$ non divisore dello zero, allora $a\ne 0$ e $b\ne 0$, pertanto l'elemento $(a,b)$ è invertibile in $A$ e il suo inverso è $(a^(-1),b^(-1))$ dove $a^(-1)$ e $b^(-1)$ sono gli inversi di $a$, rispettivamente $b$, nel campo $Z_3$.
Il sottoanello $B={(a,a):a\in Z_3}$ di $A$ è isomorfo a $Z_3$ quindi è un dominio d'integrità.
"prime_number":
1. Sia A=R[x] x R[x] (prodotto cartesiano), J l'ideale generato da $(2, x^2 +2)$.
Esiste un isomorfismo di anelli tra A/J e C?
Sia $I$ l'ideale di $RR[x]$ generato dal polinomio $x^2+2$. Per ogni polinomio $f\in RR[x]$, si ha
$(1/2f,0)(2,x^2+2)=(f,0)\in J$,
pertanto $(f,g)+J=(0,g)+J$. per ogni $f,g\in RR[x]$. Di conseguenza, l'omomorfismo suriettivo di anelli $\varphi: A\to (RR[x])/I$ definito ponendo per ogni $(f,g)\in A$, $\varphi(f,g)=g+I$ ha nucleo $J$, quindi induce un isomorfismo tra $A/J$ e $(RR[x])/I$.
Il nucleo dell'omomorfismo suriettivo di anelli $\psi: RR[x]\to RR[i\sqrt(2)]$ definito ponendo per ogni $f\in RR[x]$, $\psi(f)=f(\sqrt(2))$ è generato dal polinomio irriducibile $x^2+2$. Di conseguenza, $\psi$ induce un isomorfismo di anelli tra $RR[i\sqrt(2)]$ e $(RR[x])/I$.
Infine, poichè $RR[i\sqrt(2)]\subseteq CC$ e $i=i\sqrt(2)/\sqrt(2)\in RR[i\sqrt(2)]$, si ha $CC\subseteq RR\subseteq RR[i\sqrt(2)]\subseteq CC$, pertanto $RR[i\sqrt(2)]=CC$.
8. Ma 3 non è punto fisso di $a^3$?
"prime_number":
8. Sia $a $appartenente a$ S_7$ tale che a(3)=6, a(6)=1, a(1)=3. E' vero che $a^3$ commuta con (3 6)?
Poichè ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti (a due a due permutabili), è $a=(361)*\sigma=\sigma*(361)$ dove $\sigma$ è una conveniente permutazione che lascia fissi 3,6 e 1. Allora $a^3=(361)^3\sigma^3=\sigma^3$. Poichè $\sigma^3$ lascia fissi 3,6 e 1, $a^3$ commuta con $(36)$.
"prime_number":
2. Sia $A=Z_13 ^*$ il gruppo degli elementi invertibili di $Z_13$ e $Z_4$ il gruppo additivo delle classi di resto modulo 4. Determinare tutti i morfismi da $Z_4$ a A. Dire se ce ne sono di suriettivi. Quanti sono gli iniettivi?
$A=(ZZ_13^{x},*)$ è un gruppo ciclico di ordine $12$ generato da $2$. $Z_4$ è un gruppo ciclico di ordine generato da $1$. Ogni omomorfismo $f:Z_4\to A$, è determinato dall'immagine del generatore di $Z_4$, ossia $f(1)$.
Poichè l'ordine in $A$ di $f(1)$ è divisore dell'ordine di $1$ in $Z_4$, cioè $1$, allora $f(1)$ in $A$ può essere solo un elemento di ordine $1,2$ o $4$.
In $A$ l'unico elemento di periodo $1$ e l'unità, l'unico elemento di periodo $2$ è $2^6$, mentre gli elementi di periodo $4$ sono $2^3$ e $2^9$. Quindi esistono $4$ omomorfismi anelli di cui nessuno è suriettivo e due sono iniettivi, precisamente:
$f:1\mapsto 1$ non iniettivo nè suriettivo,
$f:1\mapsto 2^6$ non iniettivo nè suriettivo,
$f:1\mapsto 2^3$ iniettivo ma non suriettivo,
$f:1\mapsto 2^9$ iniettivo ma non suriettivo.
Grazie mille!!
Vorrei chiedere alcune cosette ancora, sono dubbi di carattere + generale.
Mi resta il dubbio degli ideali principali. Ovvero, se ho un ideale somma I= (w) + (v) dove w,v appartengono ad un anello A qualunque, quando sono autorizzata a usare l'MCD come generatore di I? Quando A ha certe proprietà? C'è una regola generale a tal proposito?
Altro dubbio. In un esercizio, avevo $\alfa, \beta$ appartenenti a Z = {a+ib | a,b appartengono a Z}. Mi chiedeva di trovare tutti i $\gamma, \delta$ in Z tali che $\alfa = \beta \gamma + \delta$. Per trovarli li ho trovati, ma mi chiedo: sono unici? Se sì lo sono sempre o esistono casi particolari?
Paola
Vorrei chiedere alcune cosette ancora, sono dubbi di carattere + generale.
Mi resta il dubbio degli ideali principali. Ovvero, se ho un ideale somma I= (w) + (v) dove w,v appartengono ad un anello A qualunque, quando sono autorizzata a usare l'MCD come generatore di I? Quando A ha certe proprietà? C'è una regola generale a tal proposito?
Altro dubbio. In un esercizio, avevo $\alfa, \beta$ appartenenti a Z = {a+ib | a,b appartengono a Z}. Mi chiedeva di trovare tutti i $\gamma, \delta$ in Z tali che $\alfa = \beta \gamma + \delta$. Per trovarli li ho trovati, ma mi chiedo: sono unici? Se sì lo sono sempre o esistono casi particolari?
Paola
Se non ricordo male, un ideale somma $I_1 + I_2$ è il piu piccolo ideale contenente $I_1$ e $I_2$, per cui, venendo alla tua domanda se trovi il MCD, grazie alla identità di Bezout (MCD(a, b)= as+bt), sei a posto. Perciò, se lo trovi, direi (non sono sicuro) che puoi sempre usarlo (però mi sorge un dubbio: A non deve almeno essere un dominio euclideo per essere sicuri che il MCD ci sia?)... 
"prime_number":
Altro dubbio. In un esercizio, avevo $\alfa, \beta$ appartenenti a Z = {a+ib | a,b appartengono a Z}. Mi chiedeva di trovare tutti i $\gamma, \delta$ in Z tali che $\alfa = \beta \gamma + \delta$. Per trovarli li ho trovati, ma mi chiedo: sono unici? Se sì lo sono sempre o esistono casi particolari?
Paola
No! Qui son sicuro: feci proprio quel compito con la Manaresi (la prof.): lei stessa aveva sbagliato ad impostare la domanda del compito pensando nella sua testa che fossero unici: andai a chiedere alla Morigi (l'ass.) e mi disse che la domanda era posta bene... e andai in caos anch'io! Poi il pomeriggio alla correzione del compito, la Morigi le fece notare che aveva sbagliato...
E quindi in pratica diede buona quella domanda a tutti, purchè avessero trovato una coppia...
Anche io devo far l'esame con la Manaresi. Solo che mi chiedo, se non sono unici, come ne trovi ad esempio altri 2?? Cerchi tra gli associati?
Per quanto riguarda l'MCD nell'esercizio 4 che ho postato, risolto da fields, come vedi non si può usare l'MCD.
Paola
Per quanto riguarda l'MCD nell'esercizio 4 che ho postato, risolto da fields, come vedi non si può usare l'MCD.
Paola
Il fatto che si possa scrivere (a)+(b)=(d) non dipende dall'esistenza del MCD tra a e b. Abbiamo visto nel tuo esercizio che il MCD fra due polinomi in $ZZ[x]$ esisteva, ma non valeva l'identita' sopra citata. Questa identita' vale in un larga classe di anelli, chiamati anelli ideali principali, ovvero gli anelli commutativi in cui ogni ideale e' principale. Esempio di anelli ideali principali sono tutti i domini euclidei, quindi ad esempio $ZZ$ o $F[x]$ dove $F$ e' un campo. L'esistenza del MCD discende dal fatto che l'anello e' ideale principale: infatti la possibilita' di scrivere (a)+(b)=(d) implica che d e' MCD di a e b.
Poi l'unicita' di quoziente e resto non vale in $ZZ$. Infatti $13=(8+i)2-3-2i$ e $13=(8+i)1+5-i$.
Poi l'unicita' di quoziente e resto non vale in $ZZ$. Infatti $13=(8+i)2-3-2i$ e $13=(8+i)1+5-i$.
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