(Algebra) Sui campi di spezzamento
ciao a tutti!
La domanda che vorrei fare ad alcni di voi potrà sembrare sicuramente ovvia e banale, ma ho spulciato libri, appunti e dspense e non ho ancora trovato risposta.
Mi spiego con un esempio: voglio trovare il campo di spezzamento su Q del polinomio f(x)=x^3-2.
Ora, io so che le radici di f(x) sono: radice terza di 2, radice terza di 2 per radice terza dell'unità, radice terza di 2 per (radice terza dell'unità)^2.
Dunque il campo di spezzamento di f(x) dovrebbe essere Q[radice terza di 2, radice terza di 2 per radice terza dell'unità, radice terza di 2 per (radice terza dell'unità)^2].
Ma perchè questo campo equivale a Q[radice terza di 2, radice terza dell'unità]?
E c'entra qualcosa col fatto che le radici, con le potenze da 0 a 2, formano una base del campo?
Grazie a chiunque mi risponda, spero di essermi spiegata almeno un pò... XD
La domanda che vorrei fare ad alcni di voi potrà sembrare sicuramente ovvia e banale, ma ho spulciato libri, appunti e dspense e non ho ancora trovato risposta.
Mi spiego con un esempio: voglio trovare il campo di spezzamento su Q del polinomio f(x)=x^3-2.
Ora, io so che le radici di f(x) sono: radice terza di 2, radice terza di 2 per radice terza dell'unità, radice terza di 2 per (radice terza dell'unità)^2.
Dunque il campo di spezzamento di f(x) dovrebbe essere Q[radice terza di 2, radice terza di 2 per radice terza dell'unità, radice terza di 2 per (radice terza dell'unità)^2].
Ma perchè questo campo equivale a Q[radice terza di 2, radice terza dell'unità]?
E c'entra qualcosa col fatto che le radici, con le potenze da 0 a 2, formano una base del campo?
Grazie a chiunque mi risponda, spero di essermi spiegata almeno un pò... XD
Risposte
Ciao!
Chiama $theta$ una radice primitiva terza di $1$. Chiama $K=QQ(sqrt{2},theta)$, $L=QQ(sqrt{2},sqrt{2}theta,sqrt{2}theta^2)$.
Tu vuoi mostrare che $K=L$. Per farlo basta ricordare che i campi sono chiusi per moltiplicazione e passaggio all'inverso di un elemento non nullo.
Prima inclusione: $subseteq$. Per mostrare che $K subseteq L$ basta mostrare che $sqrt{2},theta in L$. Ma $sqrt{2}$ sta in $L$ per ipotesi, e $theta=1/(sqrt{2}) * sqrt{2} theta$ sta in $L$ essendo un prodotto di elementi di $L$.
Seconda inclusione: $supseteq$. Per mostrare che $K supseteq L$ basta mostrare che $sqrt{2},sqrt{2}theta,sqrt{2}theta^2 in K$. Ma ciò è evidente in quanto si tratta di prodotti di $sqrt{2}$ e $theta$, che sono elementi di $L$.
Chiama $theta$ una radice primitiva terza di $1$. Chiama $K=QQ(sqrt{2},theta)$, $L=QQ(sqrt{2},sqrt{2}theta,sqrt{2}theta^2)$.
Tu vuoi mostrare che $K=L$. Per farlo basta ricordare che i campi sono chiusi per moltiplicazione e passaggio all'inverso di un elemento non nullo.
Prima inclusione: $subseteq$. Per mostrare che $K subseteq L$ basta mostrare che $sqrt{2},theta in L$. Ma $sqrt{2}$ sta in $L$ per ipotesi, e $theta=1/(sqrt{2}) * sqrt{2} theta$ sta in $L$ essendo un prodotto di elementi di $L$.
Seconda inclusione: $supseteq$. Per mostrare che $K supseteq L$ basta mostrare che $sqrt{2},sqrt{2}theta,sqrt{2}theta^2 in K$. Ma ciò è evidente in quanto si tratta di prodotti di $sqrt{2}$ e $theta$, che sono elementi di $L$.
Dipende dal fatto che se a appartiene a Q(b) allora Q(a) è contenuto in Q(b).
Quindi se a appartiene a Q(b) e b appartiene a Q(a) allora Q(a)=Q(b)
Quindi se a appartiene a Q(b) e b appartiene a Q(a) allora Q(a)=Q(b)
Ciao Silvia.
Per prima cosa, non si può parlare di "radice terza" dell'unità, poichè di queste ne esistono, ovviamente, 3 e non una sola!
Quando hai un polinomio del tipo $x^n-a$ il campo di spezzamento su $QQ$ è$QQ(root(n)(a),\xi)$, dove $\xi$ è una radice n-esima primitiva dell'unità. Primitiva significa che è un generatore del gruppo ciclico delle radici n-esime, cioè che puoi ottenere le altre da questa. Prendiamo, per il tuo esempio, $\xi=e^((2pi)/3)=cos(2/3pi)+i(sin(2/3)pi)=-1/2+isqrt(3)/2$. Si ha che $\xi^2=e^4/3pi$, che è un' altra radice ennesima, e $\xi^3=1$, l'ultima radice. quindi $\xi$ genera il gruppo (di ordine 3) delle radice n-esime dell'unità. E poichè un campo di spezzamento è in particolare un'estensione algebrica (e una generica estensione algebrica $K(a)$ con $K$ campo è uno spazio vettoriale su $K$ di dimensione uguale al grado del polinomio minimo di a, nel nostro caso, se il pol. minimo di $a$ ha ordine $n$, abbiamo che $K={c_1a+c_2a^2+...+c_(n-1)a^(n-1) |c_i in K}$, ossia è l'insieme delle combinazioni linerari)
è quindi chiaro che $QQ(root(3)(2),\xi,\xi^2)=QQ(root(3)(2),\xi)$, poichè $\xi^2 in QQ(root(3)(a2),\xi)$, per quanto detto prima sulla sua struttura di spazio vettoriale. Infatti $QQ(root(3)(2),\xi)=(QQ(root(3)(2)))(\xi)=(F)(\xi)={c_1+c_2\xi+c_3\xi^2 |c_1,c_2,c_3 in F)$, e ti basta scegliere $c_1=c_2=0$, $c_3=1$ per avere che $\xi^2 in (F)(\xi)=QQ(root(3)(2),\xi)$.
Un pò più chiaro?
Per prima cosa, non si può parlare di "radice terza" dell'unità, poichè di queste ne esistono, ovviamente, 3 e non una sola!
Quando hai un polinomio del tipo $x^n-a$ il campo di spezzamento su $QQ$ è$QQ(root(n)(a),\xi)$, dove $\xi$ è una radice n-esima primitiva dell'unità. Primitiva significa che è un generatore del gruppo ciclico delle radici n-esime, cioè che puoi ottenere le altre da questa. Prendiamo, per il tuo esempio, $\xi=e^((2pi)/3)=cos(2/3pi)+i(sin(2/3)pi)=-1/2+isqrt(3)/2$. Si ha che $\xi^2=e^4/3pi$, che è un' altra radice ennesima, e $\xi^3=1$, l'ultima radice. quindi $\xi$ genera il gruppo (di ordine 3) delle radice n-esime dell'unità. E poichè un campo di spezzamento è in particolare un'estensione algebrica (e una generica estensione algebrica $K(a)$ con $K$ campo è uno spazio vettoriale su $K$ di dimensione uguale al grado del polinomio minimo di a, nel nostro caso, se il pol. minimo di $a$ ha ordine $n$, abbiamo che $K={c_1a+c_2a^2+...+c_(n-1)a^(n-1) |c_i in K}$, ossia è l'insieme delle combinazioni linerari)
è quindi chiaro che $QQ(root(3)(2),\xi,\xi^2)=QQ(root(3)(2),\xi)$, poichè $\xi^2 in QQ(root(3)(a2),\xi)$, per quanto detto prima sulla sua struttura di spazio vettoriale. Infatti $QQ(root(3)(2),\xi)=(QQ(root(3)(2)))(\xi)=(F)(\xi)={c_1+c_2\xi+c_3\xi^2 |c_1,c_2,c_3 in F)$, e ti basta scegliere $c_1=c_2=0$, $c_3=1$ per avere che $\xi^2 in (F)(\xi)=QQ(root(3)(2),\xi)$.
Un pò più chiaro?
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