Algebra: sistema rappresentanti insieme quoziente
Salve,
chiedo aiuto per questo esercizio:
Considero X=RxR, per ogni x,y,z,w appartenente ad R so che (x,y) è in relazione con (z,w) se e solo se esiste a appartenente ad R t.c. y=x^3+a e w=z^3+a. Mi viene chiesto di dimostrare che si tratti di una relazione di equivalenza e che l'insieme quoziente X sia equipotente a R. E fin qui tutto bene. Poi mi chiede di dare un sistema di rappresentanti per l'insieme quoziente X. Il professore ne da un sistema e dimostra che effettivamente sia esatto. Il mio problema è che non riesco a capire come fin dall'inizio sappia chi è un possibile rappresentante. Non riesco proprio a fare nessuna ipotesi.
Vi ringrazio infinitamente per l'aiuto.
chiedo aiuto per questo esercizio:
Considero X=RxR, per ogni x,y,z,w appartenente ad R so che (x,y) è in relazione con (z,w) se e solo se esiste a appartenente ad R t.c. y=x^3+a e w=z^3+a. Mi viene chiesto di dimostrare che si tratti di una relazione di equivalenza e che l'insieme quoziente X sia equipotente a R. E fin qui tutto bene. Poi mi chiede di dare un sistema di rappresentanti per l'insieme quoziente X. Il professore ne da un sistema e dimostra che effettivamente sia esatto. Il mio problema è che non riesco a capire come fin dall'inizio sappia chi è un possibile rappresentante. Non riesco proprio a fare nessuna ipotesi.
Vi ringrazio infinitamente per l'aiuto.
Risposte
Se ho capito bene, stai creando una relazione su \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) definita come \(\displaystyle \mathbf{x} \sim \mathbf{y} \) se e solo se \(\displaystyle x_2 - x_1^3 = a = y_2 - y_1^3 \). Quindi ogni classe di equivalenza è definita dal valore \(\displaystyle a \). Per ogni \(\displaystyle (x,y) \) esiste quindi un elemento \(\displaystyle (y-x^3, 0) \) nella stessa classe di equivalenza. Cosa non capisci?
Salve vict85,
innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Non capisco perché la classe di equivalenza è definita da a e perché (a,0) è un rappresentante dell'insieme. Non capisco proprio il ragionamento che c'è alla base. Mi sembra talmente astratto che faccio fatica a capire anche come partire nel ragionamento
innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Non capisco perché la classe di equivalenza è definita da a e perché (a,0) è un rappresentante dell'insieme. Non capisco proprio il ragionamento che c'è alla base. Mi sembra talmente astratto che faccio fatica a capire anche come partire nel ragionamento
Tu scrivi
La prima cosa che ti viene in mente leggendo quello è: “Cos'è \(\displaystyle a \)?”. Insomma tu non scrivi cos’è \(\displaystyle a \). Per esempio potresti aver fissato \(\displaystyle a \) e in quel caso la relazione accomuna ogni elemento della curva \(\displaystyle y = x^3 + a \) e non mette in relazione gli altri elementi. In questo caso sarebbe criticabile ritenere questa relazione come una relazione di equivalenza. Per questa ragione ho supposto che fosse \(\displaystyle y - x^3 = a \) e \(\displaystyle w - z^3 = a \) per qualche \(\displaystyle a \). Da cui deriva il ragionamento che ho fatto prima. Ma come hai scritto tu le cose c'è una certa incertezza.
Detto questo, il ragionamento è semplice: \(\displaystyle a = 0^3 + a \)
.
"VentoNelGrano":
\((x,y)\) è in relazione con \((z,w)\) se e solo se esiste a appartenente ad \(\displaystyle \mathbb{R} \) t.c. \(\displaystyle y=x^3+a \) e \(\displaystyle w=z^3+a \).
La prima cosa che ti viene in mente leggendo quello è: “Cos'è \(\displaystyle a \)?”. Insomma tu non scrivi cos’è \(\displaystyle a \). Per esempio potresti aver fissato \(\displaystyle a \) e in quel caso la relazione accomuna ogni elemento della curva \(\displaystyle y = x^3 + a \) e non mette in relazione gli altri elementi. In questo caso sarebbe criticabile ritenere questa relazione come una relazione di equivalenza. Per questa ragione ho supposto che fosse \(\displaystyle y - x^3 = a \) e \(\displaystyle w - z^3 = a \) per qualche \(\displaystyle a \). Da cui deriva il ragionamento che ho fatto prima. Ma come hai scritto tu le cose c'è una certa incertezza.
Detto questo, il ragionamento è semplice: \(\displaystyle a = 0^3 + a \)
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Non ci sono proprio. Maledetta algebra. Prendo un esercizio senza parametro, magari capisco.
In questo caso prendo X=ZxZ. So che (x,y) è in relazione con (z,w) se e solo se 2(x-z)=3(w-y).
Ho già dimostrato che è una relazione di equivalenza. Ora mi chiede un rappresentate dell'insieme quoziente X.
Quello che viene da chiedermi è: quando 2x+3y=2z+3w? Ma con questa domanda non mi sembra di arrivare a nulla. O meglio mi sembra verificata se x=y=z=w=0 o se x=z e y=w ecc ecc. ma con queste ipotesi non arrivo a nulla. Sto per avere un esaurimento.
In questo caso prendo X=ZxZ. So che (x,y) è in relazione con (z,w) se e solo se 2(x-z)=3(w-y).
Ho già dimostrato che è una relazione di equivalenza. Ora mi chiede un rappresentate dell'insieme quoziente X.
Quello che viene da chiedermi è: quando 2x+3y=2z+3w? Ma con questa domanda non mi sembra di arrivare a nulla. O meglio mi sembra verificata se x=y=z=w=0 o se x=z e y=w ecc ecc. ma con queste ipotesi non arrivo a nulla. Sto per avere un esaurimento.
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