Algebra semplice e prodotti tensoriali

[galois23]

Mi potete spiegare perché

1. se \(\displaystyle A \simeq M_n(D)\) (con \(\displaystyle D \) corpo) è un anello semplice, allora il centro di \(\displaystyle A \) coincide col centro di \(\displaystyle D \)?

2. Se \(\displaystyle A \) è un'algebra centrale e semplice sul campo \(\displaystyle F \), allora vale il secondo isomorfismo:

\(\displaystyle A \simeq M_n(D) \simeq M_n(F) \otimes_F D\)?

Grazie

[killing_buddha]

per 1) anelli isomorfi hanno centri isomorfi; allora basta mostrarlo per $M_n(D)$, e sappiamo di dover trovare che quel centro e' il centro di $D$. Se una matrice sta nel centro, allora commuta con tutto, in particolare con le matrici che hanno solo un uno in un posto strategico, questo (con un numero di conti non esattamente triviale) ti fa dedurre che gli elementi off-diagonal sono zero, e quelli in diagonale sono tutti uguali e stanno nel centro di $D$: hai teste' dimostrato che \(Z(M_n(D))\cong Z(D)\cdot \mathbf{1}\), dove \(\mathbf 1\) e' la matrice identica.