ALGEBRA - Relazione di Equivalenza
Ciao a tutti ho un dubbio su un esercizio datomi come autovalutazione che è il seguente:
1. Dimostrare che la seguente relazione: $apb iff cos^2a + sin^2 b = 1$ definita nell'insieme dei numeri reali, è una relazione di equivalenza.
2. Determinare la partizione in classi di equivalenza ed in particolare la classe di equivalenza $[pi/3]$
Allora io so che la relazione p per essere una relazione di equivalenza deve soddisfare la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La dimostrazione del libro l'ho capita (in teoria), ma non riesco ad applicarla all'esercizio proposto!!
1. Dimostrare che la seguente relazione: $apb iff cos^2a + sin^2 b = 1$ definita nell'insieme dei numeri reali, è una relazione di equivalenza.
2. Determinare la partizione in classi di equivalenza ed in particolare la classe di equivalenza $[pi/3]$
Allora io so che la relazione p per essere una relazione di equivalenza deve soddisfare la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La dimostrazione del libro l'ho capita (in teoria), ma non riesco ad applicarla all'esercizio proposto!!
Risposte
Riscrivi $\cos^2(a)+\sin^2(b)=1$ come $\cos^2(a)=\cos^2(b)$.
E' più chiaro ora?
E' più chiaro ora?
Con la riscrittura di Martino è evidente che si tratta di un'equivalenza.
Si ha $x p y iff EE k in ZZ : y=+-arccos(x)+kpi$, perciò $[x]_p=U_(k in ZZ){+-arccos(x)+kpi}$ da cui ricavi banalmente la classe di $pi/3$.
Si ha $x p y iff EE k in ZZ : y=+-arccos(x)+kpi$, perciò $[x]_p=U_(k in ZZ){+-arccos(x)+kpi}$ da cui ricavi banalmente la classe di $pi/3$.
"Jack Durden":
Ciao a tutti ho un dubbio su un esercizio datomi come autovalutazione che è il seguente:
1. Dimostrare che la seguente relazione: $apb iff cos^2a + sin^2 b = 1$ definita nell'insieme dei numeri reali, è una relazione di equivalenza.
2. Determinare la partizione in classi di equivalenza ed in particolare la classe di equivalenza $[pi/3]$
Allora io so che la relazione p per essere una relazione di equivalenza deve soddisfare la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La dimostrazione del libro l'ho capita (in teoria), ma non riesco ad applicarla all'esercizio proposto!!
Per la 1 dovrebbe essere:
1)Riflessiva: $arhoa iff cos^2a+sin^2a=1$ che è vera.
2)Simmetrica: $arhob => brhoa$ cioè $cos^2a+sin^2b=1 => cos^2b+sin^2a=(1-sin^2a)+(1-cos^2b)=2-(sin^2a+cos^2b)=2-1=1$ che è vera.
3)Transitiva: $arhob,brhoc =>arhoc$ cioè ${(cos^2a+sin^2b=1),(cos^2b+sin^2c=1):}" " => cos^2a+sin^2c=1"?"$ Sommando membro a membro: $cos^2a+sin^2b+cos^2b+sin^2c=1+1 => cos^2a+sin^2c=2-(sin^2b+cos^2b) => cos^2a+sin^2c=2-1=1$ che è vera.
Quindi è una relazione di equivalenza come volevasi dimostrare.
X il punto 2 non so ancora bene come procedere mi spiace...
Allora innanzitutto grazie a tutti per l'aiuto. Ho capito il ragionamento di gigabyte17, ma non mi è tanto chiaro il "gioco" che fa Martino cosa che da come ha risposto dovrebbe essere anche + semplice. Ragioniamo:
io ho questa relazione $cos^2a + sin^2 b = 1$ Martino dice di scriverla $cos^2a = cos^2b$ questo perchè da quello che mi ricordo $1 - sin^2b = cos^2b$ fin qua non dovrebbero esserci intoppi. Procediamo con le proprietà.
La proprietà Riflessiva dice che: $AA x in A iff xpx$ quindi io avrò che $cos^2a = cos^2a$ ?? Se è così è OK per forza.
La proprietà Simmetrica dice che:$AA x,y in A: xpy iff ypx$ quindi io andrò a dimostrare che $cos^2a = cos^2b iff cos^2b = cos^2a$ ?? Quindi farei una cosa del genere:
$cos^2a + sin^2b = 1$
$cos^2a = 1 - sin^2b$
$cos^2a = cos^2b$
$1 - sin^2a = cos^2b$
$1 = cos^2b + sin^2a$
è corretto??
La proprietà Transitiva: buio più assoluto!!
Ci sto ancora pensando.
Scusate se sembro "de coccio"
Ciao.
io ho questa relazione $cos^2a + sin^2 b = 1$ Martino dice di scriverla $cos^2a = cos^2b$ questo perchè da quello che mi ricordo $1 - sin^2b = cos^2b$ fin qua non dovrebbero esserci intoppi. Procediamo con le proprietà.
La proprietà Riflessiva dice che: $AA x in A iff xpx$ quindi io avrò che $cos^2a = cos^2a$ ?? Se è così è OK per forza.
La proprietà Simmetrica dice che:$AA x,y in A: xpy iff ypx$ quindi io andrò a dimostrare che $cos^2a = cos^2b iff cos^2b = cos^2a$ ?? Quindi farei una cosa del genere:
$cos^2a + sin^2b = 1$
$cos^2a = 1 - sin^2b$
$cos^2a = cos^2b$
$1 - sin^2a = cos^2b$
$1 = cos^2b + sin^2a$
è corretto??
La proprietà Transitiva: buio più assoluto!!
Ci sto ancora pensando.Scusate se sembro "de coccio"
Ciao.
Se hai una funzione $f:RR \to RR$, e definisci una relazione su $RR$ dicendo che "a è in relazione con b se f(a)=f(b)", allora tale relazione è automaticamente un'equivalenza:
1) Proprietà riflessiva: se $a \in RR$ allora f(a)=f(a), quindi a è in relazione con a.
2) Proprietà simmetrica: se $a,b \in RR$ e a è in relazione con b, allora f(a)=f(b), ovvero f(b)=f(a), ovvero b è in relazione con a.
3) Proprietà transitiva: se $a,b,c \in RR$ e a è in relazione con b, e b è in relazione con c, allora f(a)=f(b) e f(b)=f(c), quindi f(a)=f(b)=f(c), quindi f(a)=f(c), quindi a è in relazione con c.
Ora, questo è esattamente il tuo caso: tu hai come funzione la $f(x)=cos^2(x)$.
1) Proprietà riflessiva: se $a \in RR$ allora f(a)=f(a), quindi a è in relazione con a.
2) Proprietà simmetrica: se $a,b \in RR$ e a è in relazione con b, allora f(a)=f(b), ovvero f(b)=f(a), ovvero b è in relazione con a.
3) Proprietà transitiva: se $a,b,c \in RR$ e a è in relazione con b, e b è in relazione con c, allora f(a)=f(b) e f(b)=f(c), quindi f(a)=f(b)=f(c), quindi f(a)=f(c), quindi a è in relazione con c.
Ora, questo è esattamente il tuo caso: tu hai come funzione la $f(x)=cos^2(x)$.
Ok ... quindi ponendo f(a) = f(b) ho subito una relazione di equivalenza punto. Tornando alle proprietà è giusto tutto quel macello che ho fatto nel mio penultimo post alla proprietà simmetrica, o basta una dimostrazione come quella che hai fatto te nel tuo ultimo post solo che al posto di f(x) mettere cos(x) ??
Dici:
Non capisco perché dopo ti lanci in quegli strani conti: è evidente che la dimostrazione del fatto che
$cos^2a = cos^2b iff cos^2b = cos^2a$
si riduce a portare il membro di destra a sinistra e viceversa (proprio volendo essere pignoli): la relazione di uguaglianza è simmetrica!
(in realtà una volta riformulata la questione come "a rel b sse f(a)=f(b)" puoi far scivolare tutto sul fatto che la relazione di uguaglianza è un'equivalenza!).
"Jack Durden":
quindi io andrò a dimostrare che $cos^2a = cos^2b iff cos^2b = cos^2a$ ??
Non capisco perché dopo ti lanci in quegli strani conti: è evidente che la dimostrazione del fatto che
$cos^2a = cos^2b iff cos^2b = cos^2a$
si riduce a portare il membro di destra a sinistra e viceversa (proprio volendo essere pignoli): la relazione di uguaglianza è simmetrica!
(in realtà una volta riformulata la questione come "a rel b sse f(a)=f(b)" puoi far scivolare tutto sul fatto che la relazione di uguaglianza è un'equivalenza!).
Ok capito ... niente strani conti. 
Cmq ti ringrazio ancora per l'aiuto.
Ciao ciao.
Cmq ti ringrazio ancora per l'aiuto.Ciao ciao.
Scusate ma io non ho capito come trovare la classe di equivalenza!
Non devi fare altro che cercare quegli "angoli" che hanno lo stesso $cos^2$ di $\pi/3$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo