[Algebra] Questione sui polinomi ciclotomici
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno del vostro aiuto. Sul mio libro (dispense in pdf) di Algebra, che sto studiando in questi giorni, ho trovato la seguente definizione:
Definizione. Sia $p>0$ un primo. Allora
$\xi_p=\frac{x^p-1}{x-1}=x^(p-1)+x^(p-2)+\cdots+x+1=sum_(i=0)^(p-1)x^i$
si chiama $p$-esimo polinomio ciclotomico.
E fin qua tutto bene. Ma, due domande:
1) e per i numeri non primi? Come posso trovare $\xi_4$? Esiste, o i polinomi ciclotomici esistono solo per un $p$ primo?
2) oltre all'evidente fatto di essere irriducibili su $mathbb Q$ (almeno i primi che ho trovato) che caratteristiche hanno? A che cosa servono?
Come al solito, un grazie in anticipo per chi mi aiuterà.
Grazie,
Paolo
Avrei bisogno del vostro aiuto. Sul mio libro (dispense in pdf) di Algebra, che sto studiando in questi giorni, ho trovato la seguente definizione:
Definizione. Sia $p>0$ un primo. Allora
$\xi_p=\frac{x^p-1}{x-1}=x^(p-1)+x^(p-2)+\cdots+x+1=sum_(i=0)^(p-1)x^i$
si chiama $p$-esimo polinomio ciclotomico.
E fin qua tutto bene. Ma, due domande:
1) e per i numeri non primi? Come posso trovare $\xi_4$? Esiste, o i polinomi ciclotomici esistono solo per un $p$ primo?
2) oltre all'evidente fatto di essere irriducibili su $mathbb Q$ (almeno i primi che ho trovato) che caratteristiche hanno? A che cosa servono?
Come al solito, un grazie in anticipo per chi mi aiuterà.
Grazie,
Paolo
Risposte
Se $n \ge 1$ è un intero, poniamo $U_n = \{e^{i\frac{2k\pi}{n}}: k = 0, 1, \ldots, n$ e $\gcd(n,k) = 1\}$ e $\Phi_n(z) = \prod_{\zeta \in U_n} (z - \zeta)$. Evidentemente, $\Phi_n(\cdot)$ definisce un polinomio a coefficienti complessi della variabile $z$ - detto, per l'appunto, l'$n$-esimo polinomio ciclotomico. Un primo fatto fondamentale è che, in definitiva, $\Phi_n(z) \in ZZ[z]$. Per esempio, $U_4 = \{e^{\pm i\frac{\pi}{2}}\} = \{\pm i\}$ e $\Phi_4(z) = (z-i)(z+i) = z^2 + 1$.
"Gabriel":
Se $n \ge 1$ è un intero, poniamo $U_n = \{e^{i\frac{2k\pi}{n}}: k = 0, 1, \ldots, n$ e $\gcd(n,k) = 1\}$ e $\Phi_n(z) = \prod_{\zeta \in U_n} (z - \zeta)$. Evidentemente, $\Phi_n(\cdot)$ definisce un polinomio a coefficienti complessi della variabile $z$ - detto, per l'appunto, l'$n$-esimo polinomio ciclotomico. Un primo fatto fondamentale è che, in definitiva, $\Phi_n(z) \in ZZ[z]$. Per esempio, $U_4 = \{e^{\pm i\frac{\pi}{2}}\} = \{\pm i\}$ e $\Phi_4(z) = (z-i)(z+i) = z^2 + 1$.
Grazie per la risposta.
Qualche considerazione: dunque la definizione non è quella che ho postato io? La mia si limita al caso $p$ primo, ma non è quella generale, allora. E va bene. Però scusa, perchè dici che sono a coefficienti complessi della variabile $z$? Io ho trovato scritto che i polinomi ciclotomici hanno coefficienti reali (anzi, razionali, stando ai primi; inoltre, piccola osservazione che non so se ha molto senso, sono tutti monici).
Scusa il disturbo e grazie ancora (anche per il post $7^900$, ho visto solo ora la tua risposta)
Paolo
I polinomi ciclotomici sono i polinomi che hanno come radici le radici primitive n-esime dell'unità. Sono fondamentali per lo studio dei gruppi risolubili, grazie ai quali la Teoria di Galois dimostra la risolubilità per radicali delle equazioni di grado minore di 5.
Ciao Luca.
Grazie per la risposta (non conoscendo ancora la Teoria di Galois, non sapevo di questo loro impiego).
Dunque, vediamo se ho capito. Per costruirmi il $p$-esimo polinomio ciclotomico opero in questo modo:
i) se $p$ è un primo positivo allora posso dire che $\xi_p=sum_(i=0)^(p-1)x^i$
ii) se $p$ non è primo, allora mi calcolo le radici $p$ esime dell'unità (mediante la formula $\root(p)(1)=cos(2kpi/p)+isin(2kpi/p)$ con ($k=0,1,\cdots,p-1$) e poi mi costruisco il polinomio che le ammette come radici.
E' giusto?
Grazie, Paolo.
Grazie per la risposta (non conoscendo ancora la Teoria di Galois, non sapevo di questo loro impiego).
Dunque, vediamo se ho capito. Per costruirmi il $p$-esimo polinomio ciclotomico opero in questo modo:
i) se $p$ è un primo positivo allora posso dire che $\xi_p=sum_(i=0)^(p-1)x^i$
ii) se $p$ non è primo, allora mi calcolo le radici $p$ esime dell'unità (mediante la formula $\root(p)(1)=cos(2kpi/p)+isin(2kpi/p)$ con ($k=0,1,\cdots,p-1$) e poi mi costruisco il polinomio che le ammette come radici.
E' giusto?
Grazie, Paolo.
"Luca.Lussardi":
I polinomi ciclotomici sono i polinomi che hanno come radici le radici primitive n-esime dell'unità.
Non esattamente. Ad es., $2(x^2+1)$ non è un polinomio ciclotomico, nonostante che i suoi zeri siano le radici primitive quarte dell'unità. Comunque sia, voglio far presente, con riferimento ai contenuti e alle notazioni proprie del mio primo intervento sul thread, che $U_n$ rappresenta, infatti, nient'altro che l'insieme delle radici primitive $n$-esime dell'unità. Per cui $\Phi_n(z)$, secondo la definizione contenuta nello stesso post, costituisce, ad ogni effetto della pratica, quell'unico polinomio monico in $CC[z]$ i cui zeri, precisamente, sono tutti e soli gli elementi di $U_n$.
"Paolo90":
Qualche considerazione: dunque la definizione non è quella che ho postato io? La mia si limita al caso $p$ primo, ma non è quella generale, allora. E va bene. Però scusa, perchè dici che sono a coefficienti complessi della variabile $z$? Io ho trovato scritto che i polinomi ciclotomici hanno coefficienti reali (anzi, razionali, stando ai primi; inoltre, piccola osservazione che non so se ha molto senso, sono tutti monici).
... leggi con attenzione! Forse non ti ho invitato a dimostrare che $\Phi_n(\cdot)$, in verità, è un polinomio a coefficienti interi? Il punto è soltanto che, in linea di principio, la definizione che ho proposto non rende così scontato questo fatto.
Intendevo monico, è chiaro, era già stato detto per altro...
Allora, sto iniziando a ricompattare i pezzi. Ho capito - soltanto dopo aver postato, Gabriel - che il tuo $U_n$ era l'insieme delle radici primitive ennesime. Tuttavia, mi manca una definizione: cosa si intende con radice primitiva dell'unità? La formula che compare nel mio precedente post è corretta: però quella mi serve per calcolare solo le radici ennesime dell'unità. Mi spiegate cosa significa l'aggettivo primitivo riferito alle radici, per cortesia?
Grazie per l'aiuto a entrambi.
Paolo
Grazie per l'aiuto a entrambi.
Paolo
Se denoti con $A$ l'insieme delle radici n-esime di $x^n-1$ allora $A$ è un gruppo generato da un elemento $e$ di periodo $n$. Le radici primitive di $1$ sono gli elementi di $A$ che hanno ancora periodo $n$.
"Luca.Lussardi":
Se denoti con $A$ l'insieme delle radici n-esime di $x^n-1$ allora $A$ è un gruppo generato da un elemento $e$ di periodo $n$. Le radici primitive di $1$ sono gli elementi di $A$ che hanno ancora periodo $n$.
Posso approffitare della tua $oo$ bontà (
) per chiederti un esempio? Non ho ben chiaro il secondo pezzo della definizione: "Luca.Lussardi":
Le radici primitive di $1$ sono gli elementi di $A$ che hanno ancora periodo $n$.
Ad esempio, proponiamoci di calcolare $\root(3)(1)$, applicando la formula $\root(p)(1)=cos(2k\pi/p)+isin(2k\pi/p)$ con $k=0,1,2$.
Si ottengono i seguenti valori:
$k=0$: $1$
$k=1$: $-1/2+isqrt3/2$
$k=2$: $-1/2-isqrt3/2$
Ora, se prendessi $k=3$ ritroverei il valore $1$; con $k=4$ ottengo di nuovo $-1/2+isqrt3/2$. Dunque devo concludere che tre sono le radici primitive cubiche dell'unità (non credo, ma non riesco a capire cosa devo fare).
Grazie davvero per l'aiuto.
Paolo
No, 1 non è primitiva, il suo periodo non è 3. Invece le altre due sì, hanno periodo 3, se le elevi al quadrato ottieni l'altra; per altro $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ e $x^2+x+1$ è invero il polinomio ciclotomico $\Phi_3(x)$.
Abbi pazienza: non capisco come fai a dire che
Non è $3$ il suo periodo? Non capisco il perchè.. scusami...
Appunto, sapevo che il polinomio ciclotomico era questo; solo che non capisco perchè $1$ è da scartare.
Grazie e scusa il disturbo.
Paolo
"Luca.Lussardi":
No, 1 non è primitiva, il suo periodo non è 3.
Non è $3$ il suo periodo? Non capisco il perchè.. scusami...
"Luca.Lussardi":
Per altro $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ e $x^2+x+1$ è invero il polinomio ciclotomico $\Phi_3(x)$.
Appunto, sapevo che il polinomio ciclotomico era questo; solo che non capisco perchè $1$ è da scartare.
Grazie e scusa il disturbo.
Paolo
Beh $1^n=1$ per ogni $n$, per cui $1$ non è mai radice primitiva dell'unità, infatti i polinomi cicolotomici non possono avere $1$ come radice, altrimenti sarebbero divisibili per $x-1$. Invece detta $\omega$ la seconda radice terza dell'unità, hai che $\omega^2$ è la terza radice terza dell'unità, e finalmente $\omega^3=1$, per cui 3 è il periodo di $\omega$. Analogo discorso per la terza radice.
Giusto. Quindi risulta ovvio che non devo mai considerare le radici $+1$ e $-1$. L'ultimissima cosa (poi prometto: se ho capito bene, se no pace, me ne farò una ragione ma non ti disturbo più). Che mi dici riguardo a $i$ e $-i$? Ad esempio, è ovvio che il quarto polinomio ciclotomico è $x^2+1$ (prendo come radici primitive appunto $+i$ e $-i$); invece nel caso dell'ottavo polinomio le mie otto radici ottave sono:
$k=0=> 1$
$k=1=> sqrt2/2+isqrt2/2$
$k=2=> i$
$k=3=> -sqrt2/2+isqrt2/2$
$k=4=>-i$
$k=5=>-sqrt2/2-isqrt2/2$
$k=6=>-i$
$k=7=>sqrt2/2-isqrt2/2$
Perchè devo escludere le due $i$ e $-i$? Il loro periodo non è 8 come per le altre (escluso, ovviamente $1$)?
Grazie.
Paolo
$k=0=> 1$
$k=1=> sqrt2/2+isqrt2/2$
$k=2=> i$
$k=3=> -sqrt2/2+isqrt2/2$
$k=4=>-i$
$k=5=>-sqrt2/2-isqrt2/2$
$k=6=>-i$
$k=7=>sqrt2/2-isqrt2/2$
Perchè devo escludere le due $i$ e $-i$? Il loro periodo non è 8 come per le altre (escluso, ovviamente $1$)?
Grazie.
Paolo
Perchè il loro periodo è 4 e non 8... $i^4=(-i)^4=1$.
E' vero... Che scemo, non ci avevo pensato!
Come al solito ti sei rivelato fondamentale, Luca.
Un grazie enorme per il tuo aiuto nella comprensione di questo argomento.
A presto,
Paolo
Come al solito ti sei rivelato fondamentale, Luca.
Un grazie enorme per il tuo aiuto nella comprensione di questo argomento.
A presto,
Paolo
Operativamente, puoi ben considerare che le radici primitive $n$-esime dell'unità sono generate tutte e sole dalla funzione $K_n \to CC: k \to e^{i \frac{2k\pi}{n}}$, se $K_n = \{k \in ZZ: \gcd(n,k) = 1\}$. D'altronde, tornando ancora a rivedere il secondo post di questo filo, ti accorgerai che $U_n$, di fatto, è costruito proprio come immagine di una tale funzione.
"Gabriel":
Operativamente, puoi ben considerare che le radici primitive $n$-esime dell'unità sono generate tutte e sole dalla funzione $K_n \to CC: k \to e^{i \frac{2k\pi}{n}}$, se $K_n = \{k \in ZZ: \gcd(n,k) = 1\}$. D'altronde, tornando ancora a rivedere il secondo post di questo filo, ti accorgerai che $U_n$, di fatto, è costruito proprio come immagine di una tale funzione.
Grazie anche a te per il tuo aiuto. Sì, ora ho proprio capito.
Grazie mille (e scusate se sono un po' duro a capire!).
Statemi bene,
Paolo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo