Algebra: prodotto di quozienti

[verdez]

Ciao.. Fare (R/Z)x(R/Z) equivale a fare RxR/Z? con il segno / intendo 'quozientato'

[Pappappero1]

Dovresti specificare di che strutture stai parlando. Nel caso delle strutture algebriche di gruppi e anelli non è vero in generale (e comunque in generale penso che dipenda da come immergi $Z$ in $R \times R$). A dire il vero mi chiedo se ci siano delle situazioni non banali dove l'isomorfismo può valere.

Puoi fare un facile controesempio considerando $R= \ZZ$ e $Z = 2 \ZZ$.

Se $R = \RR$ (retta reale) e $Z = \ZZ$ (anello degli interi), non è vero. Infatti $R/Z$ è isomorfo alla circonferenza $S^1$ e $S^1 \times S^1$ è un toro. Invece $ (\RR \times \RR) / \ZZ$ è un cilindro, qualunque sia l'immersione di $\ZZ$.

[verdez]

Con R intendo i reali, e Z gli interi

[vict85]

"verdez":Con R intendo i reali, e Z gli interi

Premesso che questo era chiaro, esattamente in che modo definisci \(\displaystyle \mathbb{Z} \) come sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R} \)? È immediato verificare che non lo è affatto, al limite è associato ad un qualche sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R} \). In definitiva però non hai assolutamente detto su che struttura stai lavorando. O alternativamente su che relazione di equivalenza stai quozientando.

[Pappappero1]

E' esattamente questo a cui mi riferivo. In ogni caso devi spiegare di che strutture stai parlando. $\RR$ e $\ZZ$ hanno una struttura pesante sopra (sono gruppi abeliani, anelli, spazi topologici, gruppi topologici, varietà in un sacco di modi diversi) e i quozienti cambiano a seconda di che struttura si considera. Il discorso che io ho fatto nel mio primo post vale nel caso in cui la struttura considerata sia quello di gruppo topologico, che (forse senza saperlo) è più o meno intuitivamente quella che ci immaginiamo quando vediamo $\RR$ come retta di numeri e $\ZZ$ come puntini equidistanti su quella retta.

Inoltre, una volta specificato di cosa stiamo parlando, devi indicare in che modo immergi $\ZZ$ in $\RR \times \RR$. Nella maggior parte dei casi infatti l'immersione non è canonica (ovvero puoi definire tante immersioni diverse e in generale non ce ne è una più bella delle altre, o con più proprietà delle altre).