Algebra: polinomi e campi di spezzamento
Avrei bisogno di un sapere se è giusto lo svolgimento di questo esercizio e un piccolo suggerimento su un punto di questo problema:
(a)Si provi che il polinomio $f(x)=x^4 + 2x + 2$ è irriducibile in $\mathbb(Z)_3[x]$ e che il
polinomio $g(x)=x^4 + 3x^2- x + 5$ è irriducibile in $\mathbb(Q)[x]$.
(b) Si consideri il polinomio $f(x) = x^3 -x-1 \in \mathbb(Z)_3[x]$. Si determini il
campo di spezzamento $K$ di $f(x)$ su $\mathbb(Z)_3$. In particolare, si determini
l’ordine di $K$ e la fattorizzazione di $f(x)$ in $K[x]$.
Svolgimento (a):
Poiché $f(0)=f(1)=2\ne0$ e $f(2)=1\ne0$ il polinomio $f(x)$ non ha radici in $\mathbb(Z)_3$, ciononostante potrebbe separarsi in due polinomi di secondo grado. Mostriamo che ciò non è possibile:
I soli polinomi irriducibili di secondo grado in $\mathbb(Z)_3[x]$ sono:
$x^2+1$, $x^2+x+2$, $x^2+2x+2$
Eseguendo ora la divisione tra $f(x)$ e i tre polinomi sopra citati si ottiene sempre un resto non nullo (evito i conti perché diventerebbe troppo lungo); dunque $f(x)$ è irriducibile in $\mathbb(Z)_3[x]$. Ora, poiché $g(x)$ coincide con $f(x)$ in $\mathbb(Z)_3[x]$ e $f(x)$ è ivi irriducibile, tale è anche $g(x)$ in $\mathbb(Q)[x]$.
Svolgimento (b)
Dato che $f(0)=f(1)=f(2)=2\ne0$ il polinomio $f(x)$ è irriducibile in $\mathbb(Z)_3[x]$
Sia ora $K=(\mathbb(Z)_3[x])/((f(x)))={a+b\alpha+c\alpha^2: a,b,c \in\mathbb(Z)_3, \alpha^3-\alpha-1=0}$
Essendo dunque $\alpha$ una radice del polinomio $f(x)$ è possibile eseguire la divisione con la regola di Ruffini e giungere al risultato che $f(x)=(x-\alpha)(x^2+\alphax+\alpha^2-1)$.
Ponendo $g(x):=x^2+\alphax+\alpha^2-1$ si nota che $g(\alpha+1)=0$ cioè $\alpha+1$ è anch'essa una radice di $g(x)$ e ripetendo la divisione con la regola di Ruffini si giunge al risultato finale in cui ho la fattorizzazione di $f(x)$ in $K[x]$: $f(x)=(x-\alpha)(x-\alpha-1)(x+2alpha+1)$
Fino a qui è giusto?
Ora mi manca solo da calcolare l'ordine di $K$ e non so come fare. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie infinite!
(a)Si provi che il polinomio $f(x)=x^4 + 2x + 2$ è irriducibile in $\mathbb(Z)_3[x]$ e che il
polinomio $g(x)=x^4 + 3x^2- x + 5$ è irriducibile in $\mathbb(Q)[x]$.
(b) Si consideri il polinomio $f(x) = x^3 -x-1 \in \mathbb(Z)_3[x]$. Si determini il
campo di spezzamento $K$ di $f(x)$ su $\mathbb(Z)_3$. In particolare, si determini
l’ordine di $K$ e la fattorizzazione di $f(x)$ in $K[x]$.
Svolgimento (a):
Poiché $f(0)=f(1)=2\ne0$ e $f(2)=1\ne0$ il polinomio $f(x)$ non ha radici in $\mathbb(Z)_3$, ciononostante potrebbe separarsi in due polinomi di secondo grado. Mostriamo che ciò non è possibile:
I soli polinomi irriducibili di secondo grado in $\mathbb(Z)_3[x]$ sono:
$x^2+1$, $x^2+x+2$, $x^2+2x+2$
Eseguendo ora la divisione tra $f(x)$ e i tre polinomi sopra citati si ottiene sempre un resto non nullo (evito i conti perché diventerebbe troppo lungo); dunque $f(x)$ è irriducibile in $\mathbb(Z)_3[x]$. Ora, poiché $g(x)$ coincide con $f(x)$ in $\mathbb(Z)_3[x]$ e $f(x)$ è ivi irriducibile, tale è anche $g(x)$ in $\mathbb(Q)[x]$.
Svolgimento (b)
Dato che $f(0)=f(1)=f(2)=2\ne0$ il polinomio $f(x)$ è irriducibile in $\mathbb(Z)_3[x]$
Sia ora $K=(\mathbb(Z)_3[x])/((f(x)))={a+b\alpha+c\alpha^2: a,b,c \in\mathbb(Z)_3, \alpha^3-\alpha-1=0}$
Essendo dunque $\alpha$ una radice del polinomio $f(x)$ è possibile eseguire la divisione con la regola di Ruffini e giungere al risultato che $f(x)=(x-\alpha)(x^2+\alphax+\alpha^2-1)$.
Ponendo $g(x):=x^2+\alphax+\alpha^2-1$ si nota che $g(\alpha+1)=0$ cioè $\alpha+1$ è anch'essa una radice di $g(x)$ e ripetendo la divisione con la regola di Ruffini si giunge al risultato finale in cui ho la fattorizzazione di $f(x)$ in $K[x]$: $f(x)=(x-\alpha)(x-\alpha-1)(x+2alpha+1)$
Fino a qui è giusto?
Ora mi manca solo da calcolare l'ordine di $K$ e non so come fare. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie infinite!
Risposte
L'ordine di $K$ su $ZZ_3$ è il grado del polinomio minimo di $alpha$ su $ZZ_3$. Conosci qualche polinomio irriducibile su $ZZ_3$ che abbia $alpha$ come radice?
"Gaal Dornick":
L'ordine di $K$ su $ZZ_3$ è il grado del polinomio minimo di $alpha$ su $ZZ_3$. Conosci qualche polinomio irriducibile su $ZZ_3$ che abbia $alpha$ come radice?
Scusami veramente, ma non riesco a capire cosa mi stai chiedendo...
Se il polinomio è irriducibile i $ZZ_3$, come può avere una radice in $ZZ_3$?
$alpha$ è algebrico su $ZZ_3$ (è radice di $f in ZZ_3[x]$), quindi $K=ZZ_3(alpha)=ZZ_3[alpha]=ZZ_3[x]//(p)$ (con $p$ polinomio minimo di $alpha$, ossia un polinomio monico (lo possiamo sempre prendere poichè possiamo normalizzare moltiplicando per un invertibile - cioè le costanti diverse da 0), che si annulli in $alpha$, di valutazione minima (equivalentemente irriducibile)).
Devo capire qual è il grado $[ZZ_3(alpha):ZZ_3]$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale $ZZ_3(alpha)$ su $ZZ_3$, sfruttando gli isomorfismi che ho scritto su: questa sarà uguale alla dimensione di $ZZ_3[x]//(p)$ su campo $ZZ_3$, e quest'ultima è uguale al grado di $p$.
Quindi il tutto punta alla ricerca di un polinomio irriducibile su $ZZ_3$, monico, che si annulli in $alpha$.
Devo capire qual è il grado $[ZZ_3(alpha):ZZ_3]$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale $ZZ_3(alpha)$ su $ZZ_3$, sfruttando gli isomorfismi che ho scritto su: questa sarà uguale alla dimensione di $ZZ_3[x]//(p)$ su campo $ZZ_3$, e quest'ultima è uguale al grado di $p$.
Quindi il tutto punta alla ricerca di un polinomio irriducibile su $ZZ_3$, monico, che si annulli in $alpha$.
"Gaal Dornick":
$alpha$ è algebrico su $ZZ_3$ (è radice di $f in ZZ_3[x]$), quindi $K=ZZ_3(alpha)=ZZ_3[alpha]=ZZ_3[x]//(p)$ (con $p$ polinomio minimo di $alpha$, ossia un polinomio monico (lo possiamo sempre prendere poichè possiamo normalizzare moltiplicando per un invertibile - cioè le costanti diverse da 0), che si annulli in $alpha$, di valutazione minima (equivalentemente irriducibile)).
Devo capire qual è il grado $[ZZ_3(alpha):ZZ_3]$, cioè la dimensione dello spazio vettoriale $ZZ_3(alpha)$ su $ZZ_3$, sfruttando gli isomorfismi che ho scritto su: questa sarà uguale alla dimensione di $ZZ_3[x]//(p)$ su campo $ZZ_3$, e quest'ultima è uguale al grado di $p$.
Quindi il tutto punta alla ricerca di un polinomio irriducibile su $ZZ_3$, monico, che si annulli in $alpha$.
Allora in questo caso l'ordine $[ZZ_3(alpha):ZZ_3]= 3$ perché il mio polinomio $f(x) = x^3 -x-1 \in \mathbb(Z)_3[x]$ è di grado $3$, giusto?
Nel caso invece avessi avuto lo stesso esercizio, ma considerando il seguente polinomio $g(x)=x^4+x+1 \in ZZ_3[x]$, non avrei avuto $[ZZ_3(alpha):ZZ_3]= 4$ perché $g(x)$ non è irriducibile. Dunque poiché $g(x)$ si può fattorizzare in $g(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+2)$ ed il secondo fattore è irriducibile in $ZZ_3[x]$, allora ottengo $[ZZ_3(alpha):ZZ_3]= 3$.
Mi potresti per favore confermare o smentire la correttezza del mio ragionamento?
ma scusate l'intromissione..l'ordine del campo di spezzamento è la dimensione della base del campo di spezzamento visto come spazio vettoriale. quindi teoricamente si tratta di contare gli elementi del tipo $a$+$\alpha$ $b$ che siccome siamo in $ZZ_3$ sono 9. (3 per a e 3 per b) mi sbaglio?
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