Algebra modulare
Ciao a tutti.Frequento il primo anno della facoltà di matematica e mi si chiedono di risolvere questi tre esercizi:
a) Siano p e q due numeri primi.Provare che $p^q+q^p=p+q$ modulo pq.
Capisco che devo usare il piccolo teorema di Fermat ma non riesco comunque a dimostrarlo.
b)Determinare le soluzioni intere dell'equazione $x^2+y^2=4z-1$ (suggerimento:considerare le classi modulo 4)
c)Per quali valori di m nei naturali $m^m-3$ è divisibile per 5?
Grazie,scusate se disturbo con esercizi che magari vi sembreranno facilissimi ma mi ci sto spaccando la testa ormai da qualche giorno.
a) Siano p e q due numeri primi.Provare che $p^q+q^p=p+q$ modulo pq.
Capisco che devo usare il piccolo teorema di Fermat ma non riesco comunque a dimostrarlo.
b)Determinare le soluzioni intere dell'equazione $x^2+y^2=4z-1$ (suggerimento:considerare le classi modulo 4)
c)Per quali valori di m nei naturali $m^m-3$ è divisibile per 5?
Grazie,scusate se disturbo con esercizi che magari vi sembreranno facilissimi ma mi ci sto spaccando la testa ormai da qualche giorno.
Risposte
a) $S:=p^{q-1}+q^{p-1} \equiv p^{q-1} \equiv 1 (mod q) \implies S -1 \equiv 0 (mod q)$. E lo stesso $mod p$. Quindi $S \equiv 1 (mod pq) \implies p^q+q^p \equiv p+q (mod pq)$.
b) $x^2+y^1 \equiv -1 \equiv 3 (mod4)$ e ora basta osservare che un quadrato mod 4 è o $0$ o $1$, quindi è impossibile che la LHS faccia $3$.
c) Devi solo considerare i resti mod 5 per la base e usare il teorema di Fermat in modo che ti rimangono dei resti mod 5 anche al'esponente.
b) $x^2+y^1 \equiv -1 \equiv 3 (mod4)$ e ora basta osservare che un quadrato mod 4 è o $0$ o $1$, quindi è impossibile che la LHS faccia $3$.
c) Devi solo considerare i resti mod 5 per la base e usare il teorema di Fermat in modo che ti rimangono dei resti mod 5 anche al'esponente.
Grazie mille per la risposta velocissima.Scusa ma il primo e l'ultimo però non li ho capiti.
Innanzitutto non so come da $p^q+ q^p$ arrivi a $p^{q-1}+q^{p-1}$ e poi non so come si comportino le classi passando da $mod p$ e $mod q$ a $mod pq$.
Mentre nel terzo non so cosa fare.
Grazie ancora.
Innanzitutto non so come da $p^q+ q^p$ arrivi a $p^{q-1}+q^{p-1}$ e poi non so come si comportino le classi passando da $mod p$ e $mod q$ a $mod pq$.
Mentre nel terzo non so cosa fare.
Grazie ancora.
Avevo definito $S:= p^{q-1}+q^{p-1}$. E si deduce che $S\equiv 1 (mod p)$ e $S \equiv 1 (mod q)$. Quindi $S \equiv 1 mod (pq)$, e, moltiplicando tutto per $p+q$, si ottiene $p^q+q^p\equiv p+q (mod pq)$.
Mentre per l'ultimo, sia $n$ il resto di $m$ diviso $5$. Quindi $m^m \equiv n^{5k+n} \equiv n^{5k} n^n \equiv n*n^n \equiv n^{n+1} \equiv 3 (mod 5)$. E ora basta considerare ogni classe di resto, e vedi che l'unica che soddisfa le richieste è $2$.
Mentre per l'ultimo, sia $n$ il resto di $m$ diviso $5$. Quindi $m^m \equiv n^{5k+n} \equiv n^{5k} n^n \equiv n*n^n \equiv n^{n+1} \equiv 3 (mod 5)$. E ora basta considerare ogni classe di resto, e vedi che l'unica che soddisfa le richieste è $2$.
Perfetto!Grazie tantissimo.Nel secondo esercizio sapevo di dover usare il piccolo teorema di Fermat ma non ero sicura di poter dire che le classi in modulo p e modulo q valevano anche in mod pq.Ultima domanda:ma perchè nell'ultimo esercizio alla fine consideri le classi modulo 4?Volevi scrivere modulo 5?Anche perchè 2 risolve l'equazione modulo 5 non modulo 4.Scusa,forse sto sbagliando io.
Grazie,sei stato fondamentale.
Grazie,sei stato fondamentale.
Sì, è modulo 5, alla fine 
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Benissimo,allora è tutto chiaro.Grazie mille davvero!
A presto.
A presto.
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