Algebra lineare: somma diretta tra più di 2 spazi vettoriali
leggo che in generale la somma diretta ( in genere indicata con una spezie di $+$ cerchiato) tra PIU' DI 2 sottospazi vettoriali in generale non implica che tali sottospazi abbiano intersezione nulla presi a 2 a 2.
La cosa onestamente mi lascia perplesso..
sapreste costruirmi un esempio, magari in $RR^3$ così magari riesco a visualizzarlo?
grazie mille
La cosa onestamente mi lascia perplesso..
sapreste costruirmi un esempio, magari in $RR^3$ così magari riesco a visualizzarlo?
grazie mille
Risposte
Non sono d'accordo.
1) Se la somma fra due o più sottospazi è diretta, allora i sottospazi sono a due a due ad intersezione nulla.
2) Il viceversa è falso, cioè se i sottospazi sono a due a due ad intersezione nulla, allora non è detto che la somma fra questi sottospazi sia diretta.
Se vuoi, ti posso dimostrare sia 1) che 2).
P.S. Credo che tu abbia sbagliato sezione, c'è una sezione "Geometria e algebra lineare". Forse avresti dovuto postare lì...
1) Se la somma fra due o più sottospazi è diretta, allora i sottospazi sono a due a due ad intersezione nulla.
2) Il viceversa è falso, cioè se i sottospazi sono a due a due ad intersezione nulla, allora non è detto che la somma fra questi sottospazi sia diretta.
Se vuoi, ti posso dimostrare sia 1) che 2).
P.S. Credo che tu abbia sbagliato sezione, c'è una sezione "Geometria e algebra lineare". Forse avresti dovuto postare lì...
scusa, hai ragione... ho semplicemente letto male il testo! (infatti non mi tornava...)
(scusami ma ormai che ci sono
)
correggimi se sbaglio: un controesempio geometrico di 2) è ad esempio quello di tre rette (rette=sottospazi di dimensione 1 dello "spazio 3D") complanari e incidenti solo nell'origine del sistema di riferimento giusto? dato che hanno intersezione nulla a 2 a 2 e allo stesso tempo un generico vettore del piano a cui appartengono le rette può essere dato IN PIU' MODI come somma di vettori dei 3 sottospazi, contraddicendo la definizione di somma diretta
ps: scusa l'imprecisione ma quello che mi interessa è il senso geometrico.
se è ok prometto che non posto più qui, altrimenti "faccio le valige" e mi trasferisco eheh
(scusami ma ormai che ci sono
) correggimi se sbaglio: un controesempio geometrico di 2) è ad esempio quello di tre rette (rette=sottospazi di dimensione 1 dello "spazio 3D") complanari e incidenti solo nell'origine del sistema di riferimento giusto? dato che hanno intersezione nulla a 2 a 2 e allo stesso tempo un generico vettore del piano a cui appartengono le rette può essere dato IN PIU' MODI come somma di vettori dei 3 sottospazi, contraddicendo la definizione di somma diretta
ps: scusa l'imprecisione ma quello che mi interessa è il senso geometrico.
se è ok prometto che non posto più qui, altrimenti "faccio le valige" e mi trasferisco eheh
(Prima di cominciare: $o+$ si scrive \$o+\$).
Quanto dici non mi pare vero. La definizione di somma diretta che preferisco è: dato uno spazio vettoriale $V$ e $n$ suoi sottospazi $W_1, ..., W_n$, diremo che $V=W_1o+...o+W_n$ se e solo se $\forallv\inV$ esistono unici $w_1\inW_1, ..., w_n\inW_n$ tali che $v=w_1+...+w_n$. (*)
In particolare risulta che $W_1+...+W_n=V$ e che $W_i \nn W_j={0}$ per ogni $i!=j$.
Dimostro questa affermazione: intanto è chiaro che $W_1+...+W_n=V$. Poi fissiamo $i, j\in{1, ..., n},\ i!=j$ e prendiamo $u\inW_i\nn W_j$. In particolare $u\inW_i, (-u)\inW_j$ e $0=u+(-u)$. Ma ovviamente è anche $0=0+0$. Per l'unicità della decomposizione deve essere $u=0$.
______________________________________
(*) Vedi Artin, Algebra, capitolo 3 sezione 6 ("Direct Sums").
P.S.: Mentre scrivevo avete già risolto tutto!
Morale: imparare ad usare il bottone "Anteprima".
Quanto dici non mi pare vero. La definizione di somma diretta che preferisco è: dato uno spazio vettoriale $V$ e $n$ suoi sottospazi $W_1, ..., W_n$, diremo che $V=W_1o+...o+W_n$ se e solo se $\forallv\inV$ esistono unici $w_1\inW_1, ..., w_n\inW_n$ tali che $v=w_1+...+w_n$. (*)
In particolare risulta che $W_1+...+W_n=V$ e che $W_i \nn W_j={0}$ per ogni $i!=j$.
Dimostro questa affermazione: intanto è chiaro che $W_1+...+W_n=V$. Poi fissiamo $i, j\in{1, ..., n},\ i!=j$ e prendiamo $u\inW_i\nn W_j$. In particolare $u\inW_i, (-u)\inW_j$ e $0=u+(-u)$. Ma ovviamente è anche $0=0+0$. Per l'unicità della decomposizione deve essere $u=0$.
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(*) Vedi Artin, Algebra, capitolo 3 sezione 6 ("Direct Sums").
P.S.: Mentre scrivevo avete già risolto tutto!
Morale: imparare ad usare il bottone "Anteprima".
è corretto dissonance il mio (rozzo) controesempio?
Tutto 
yupppiiiii 
grazie mille e alla prossima!
grazie mille e alla prossima!
Si è giusto. (E non è "rozzo", è "semplice" che è molto diverso).
P.S.: Questo topic mi ha fatto venire un dubbio. (Con le notazioni del mio post precedente) se $V=W_1+...+W_n$ e $W_i\nn W_j={0},\ \foralli!=j$, allora $V=W_1o+...o+W_n$? Mi pare proprio di no.
Ri-P.S.: Infatti, era facile. Esempio: $RR^2=\langle(1, 0)\rangle+\langle(0, 1)\rangle+\langle(1, 1)\rangle$, i sottospazi si intersecano a due a due solo nell'origine ma la somma non è diretta.
P.S.: Questo topic mi ha fatto venire un dubbio. (Con le notazioni del mio post precedente) se $V=W_1+...+W_n$ e $W_i\nn W_j={0},\ \foralli!=j$, allora $V=W_1o+...o+W_n$? Mi pare proprio di no.
Ri-P.S.: Infatti, era facile. Esempio: $RR^2=\langle(1, 0)\rangle+\langle(0, 1)\rangle+\langle(1, 1)\rangle$, i sottospazi si intersecano a due a due solo nell'origine ma la somma non è diretta.
"dissonance":
Si è giusto. (E non è "rozzo", è "semplice" che è molto diverso).
P.S.: Questo topic mi ha fatto venire un dubbio. (Con le notazioni del mio post precedente) se $V=W_1+...+W_n$ e $W_i\nn W_j={0},\ \foralli!=j$, allora $V=W_1o+...o+W_n$? Mi pare proprio di no.
mi pare che il mio controesempio provi proprio questo.. dove $W_1$, $W_2$ e $W_3$ sono le 3 rette complanari e $V$ è il piano delle rette
cmq, a parte questo, leggo da un testo di algebra che il tuo presentimento è corretto per $n>2$, mentre per $n=2$ no.
In effetti per $n=2$ (leggo) dire
$V=W_1+W_2$ $^^$ $W_1\nn W_2={0}$ $hArr$ $V=W_1o+W_2$
cioè è un modo equivalente di dire "somma diretta"
...dove $n$ è il numero di sottospazi.
Voglio ricordare che una definizione equivalente di somma diretta di sottospazi è la seguente:
$W_1+...+W_n=W_1\oplus...\oplus W_n$ se e solo se per ogni $i=1,...,n$ si ha che $W_i\cap(\sum_{k\ne i}W_k)={0}$.
Voglio ricordare che una definizione equivalente di somma diretta di sottospazi è la seguente:
$W_1+...+W_n=W_1\oplus...\oplus W_n$ se e solo se per ogni $i=1,...,n$ si ha che $W_i\cap(\sum_{k\ne i}W_k)={0}$.
"dissonance":
La definizione di somma diretta che preferisco è: dato uno spazio vettoriale $V$ e $n$ suoi sottospazi $W_1, ..., W_n$, diremo che $V=W_1o+...o+W_n$ se e solo se $\forallv\inV$ esistono unici $w_1\inW_1, ..., w_n\inW_n$ tali che $v=w_1+...+w_n$. (*)
In particolare risulta che $W_1+...+W_n=V$ e che $W_i \nn W_j={0}$ per ogni $i!=j$.
Un piccolo appunto: si può definire la somma diretta di sottospazi, anche senza richiedere che la somma di $W_1,...,W_n$ dia l'intero $V$.
Si dice che $W_1+...+W_n=W_1\oplus...\oplusW_n$ se e solo se, per definizione, per ogni $v\in W_1+...+W_n$ esistono e sono unici $w_i\in W_i$, con $i=1,...,n$, tali che $v=\sum w_i$.
Per esempio, due rette distinte passanti per l'origine in $RR^3$ sono a somma diretta ma non generano tutto $RR^3$.
P.S. Caro "dissonance", grazie ai suggerimenti di Gaal Gornick, ho capito chi sei!
adesso mi sento esperto di somme dirette eheheh 
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