Algebra - Ideali minimali e primi?
Ciao, per il mio primo post nel forum volevo esporre un dubbio che ho:
è vero che se un ideale è minimale allora non è primo?
La domanda mi è sorta dal fatto che non è così ovvio che se un anello R possiede un certo ideale minimale I allora questo è semplice come anello, infatti gli eventuali ideali di I non è detto che siano ideali di R; una condizione affinché valga questo è che I non sia anello primo.
Grazie a chi risponderà
è vero che se un ideale è minimale allora non è primo?
La domanda mi è sorta dal fatto che non è così ovvio che se un anello R possiede un certo ideale minimale I allora questo è semplice come anello, infatti gli eventuali ideali di I non è detto che siano ideali di R; una condizione affinché valga questo è che I non sia anello primo.
Grazie a chi risponderà
Risposte
Ma che cos'è un anello primo, e... un ideale minimale è semplicemente un ideale che non ha ideali propri non nulli? Stai seguendo un libro?
Mi sono espresso abbastanza male in effetti, intendevo ideale primo di R, comunque riforumulo:
se \(\displaystyle R \) è anello e \(\displaystyle I \) un suo ideale minimale che non sia un suo ideale primo, allora \(\displaystyle I \) è anello semplice (dimostrato, se volete aggiungo la dimostrazione)
Mi chiedevo se l'ipotesi che \(\displaystyle I \) non sia ideale primo di \(\displaystyle R \) si possa eliminare, oppure se succede che non esistono ideali minimali che sono anche ideali primi.
In quanto alle definizioni:
\(\displaystyle I \) è ideale primo di \(\displaystyle R \) se: \(\displaystyle xy \in I \Rightarrow x \in I \) oppure \(\displaystyle y \in I \)
\(\displaystyle I \) è ideale minimale di \(\displaystyle R \) se \(\displaystyle \forall J \) ideale di \(\displaystyle R \) tale che \(\displaystyle (0) \subseteq J \subseteq I \) allora \(\displaystyle J=(0) \) oppure \(\displaystyle J=I \)
Un anello si dice semplice se non possiede ideali propri.
se \(\displaystyle R \) è anello e \(\displaystyle I \) un suo ideale minimale che non sia un suo ideale primo, allora \(\displaystyle I \) è anello semplice (dimostrato, se volete aggiungo la dimostrazione)
Mi chiedevo se l'ipotesi che \(\displaystyle I \) non sia ideale primo di \(\displaystyle R \) si possa eliminare, oppure se succede che non esistono ideali minimali che sono anche ideali primi.
In quanto alle definizioni:
\(\displaystyle I \) è ideale primo di \(\displaystyle R \) se: \(\displaystyle xy \in I \Rightarrow x \in I \) oppure \(\displaystyle y \in I \)
\(\displaystyle I \) è ideale minimale di \(\displaystyle R \) se \(\displaystyle \forall J \) ideale di \(\displaystyle R \) tale che \(\displaystyle (0) \subseteq J \subseteq I \) allora \(\displaystyle J=(0) \) oppure \(\displaystyle J=I \)
Un anello si dice semplice se non possiede ideali propri.
L'ideale nullo lo consideri minimale?
Che mi dici di $ZZ//4ZZ$?
Che mi dici di $ZZ//4ZZ$?
Mi sono scordato \(\displaystyle I \ne (0) \) nella definizione di minimale.
Comunque $4 \mathbb{Z}$ non è minimale in $\mathbb{Z}$ in quanto $2 \mathbb{Z}$ è un ideale di $\mathbb{Z}$ non banale e contenuto propriamente in $4 \mathbb{Z}$.
Si ha però che è non è ideale primo in quanto $2\cdot 2=4 \in 4 \mathbb{Z}$ e $2$ non sta in $4 \mathbb{Z}$.
Succede infatti quello che ci aspettiamo, ovvero che gli ideali di $4 \mathbb{Z}$ sono anche ideali di $mathbb{Z}$.
Qui la cosa funziona, però forse sto sbagliando qualcosa.
Più in generale, quando succede che dato $I$ ideale di $R$, se $J$ è ideale di $I$ allora $J$ è ideale di $R$?
Comunque $4 \mathbb{Z}$ non è minimale in $\mathbb{Z}$ in quanto $2 \mathbb{Z}$ è un ideale di $\mathbb{Z}$ non banale e contenuto propriamente in $4 \mathbb{Z}$.
Si ha però che è non è ideale primo in quanto $2\cdot 2=4 \in 4 \mathbb{Z}$ e $2$ non sta in $4 \mathbb{Z}$.
Succede infatti quello che ci aspettiamo, ovvero che gli ideali di $4 \mathbb{Z}$ sono anche ideali di $mathbb{Z}$.
Qui la cosa funziona, però forse sto sbagliando qualcosa.
Più in generale, quando succede che dato $I$ ideale di $R$, se $J$ è ideale di $I$ allora $J$ è ideale di $R$?
Stavo riferendomi all'ideale $2ZZ//4ZZ$, che è minimale e primo.
Qual è la domanda? Se un ideale minimale è sempre semplice come anello?
Qual è la domanda? Se un ideale minimale è sempre semplice come anello?
Ok si, $2\mathbb{Z}$/$4\mathbb{Z}$ è ideale minimale e primo di $\mathbb{Z}$/$4\mathbb{Z}$.. comunque esatto è questa la domanda di fondo se un ideale minimale è sempre semplice come anello, oppure (equivalentemente?) quando gli ideali di un ideale sono ideali di tutto l'anello.
Vedi qui, la risposta di Censi Li. L'ideale $I = (X)//(X^2)$ di $QQ[X]//(X^2)$ è minimale ma non è un anello semplice perché in $I$ (che come insieme è infinito) abbiamo $ab=0$ per ogni $a,b in I$.
Ok è chiaro, quindi ci sono anelli con ideali minimali i quali non sono semplici come anelli, grazie per l'esempio
Prego!
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